Ce chapitre couvre la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, et les bases de la dérivation — fondations indispensables pour l'étude complète des fonctions.
$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle l'est en chaque point de $I$. Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racine, trigonométriques) sont continues sur leur domaine.
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $I=[a;b]$, alors $f(I)$ est l'intervalle de bornes $f(a)$ et $f(b)$ (dans l'ordre approprié selon la monotonie).
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $\exists c\in[a;b], f(c)=k$. Cas particulier très utile : si $f(a)\cdot f(b)<0$, alors $f$ s'annule au moins une fois sur $]a;b[$.
$$f(a)\cdot f(b)<0,\; f \text{ continue sur } [a;b] \;\Longrightarrow\; \exists c\in\,]a;b[,\; f(c)=0$$
Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a;b]$, et $f(a)\cdot f(b)<0$, alors l'équation $f(x)=0$ admet une SEULE solution dans $]a;b[$ (et plus généralement, $f(x)=\lambda$ admet une unique solution si $\lambda$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$). C'est l'outil principal pour démontrer l'unicité (pas seulement l'existence) d'une solution.
$f$ est dérivable en $a$ si $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie, notée $f'(a)$. La fonction dérivée $f'$ associe $f'(x)$ à chaque $x$. Règles : $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(u\circ v)'=v'\times(u'\circ v)$.
$$f \text{ dérivable en } a \;\Longleftrightarrow\; \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \text{ existe et finie}$$
Le signe de $f'$ sur un intervalle donne le sens de variation de $f$ ($f'>0$ : croissante ; $f'<0$ : décroissante). Le signe de $f$ elle-même se lit directement sur son tableau de variations (en comparant aux valeurs/limites des bornes) ou sur sa représentation graphique (au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses).
Ce chapitre regroupe les outils avancés d'étude de fonctions : résolution graphique, fonction réciproque, optimisation, et primitives.
Pour résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$, on cherche les abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et $g$. Pour $f(x)\leq g(x)$, on identifie les intervalles où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$. La courbe de $f^{-1}$ est symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite $y=x$. Si $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)\neq0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et $(f^{-1})'(f(a))=\dfrac{1}{f'(a)}$.
$$(f^{-1})'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$$
Pour résoudre un problème d'optimisation, on modélise la grandeur à optimiser comme fonction d'une variable, on étudie ses variations, et on identifie l'extremum (souvent en cherchant où $f'(x)=0$ avec changement de signe).
$f$ est convexe sur $I$ si $f''\geq0$ ; concave si $f''\leq0$. La convexité permet de prouver certaines inégalités : si $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui donne $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ pour tout $x$.
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'=f$. Les formules de dérivation se lisent à l'envers pour trouver des primitives usuelles.
$$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k \qquad \int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u|+k \qquad \int u'e^u\,dx = e^u+k$$
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$f$ est continue sur $[0;1]$ (polynôme). $f'(x)=3x^2+1>0$, donc $f$ est strictement croissante. $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc $f(0)\cdot f(1)<0$. Par le TVI et la stricte monotonie, $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
$f'(x)=2x$, donc $f$ décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$, minimum $f(0)=-4$. $f(x)=0$ pour $x=\pm2$. D'après le tableau : $f(x)>0$ pour $x<-2$ ou $x>2$ ; $f(x)<0$ pour $-2
$f^{-1}(8)=2$ (car $2^3=8$). $f'(x)=3x^2$, donc $f'(2)=12$. $(f^{-1})'(8)=(f^{-1})'(f(2))=1/f'(2)=1/12$.
Si $x$ est un côté, l'autre est $10-x$. $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$. $A'(x)=10-2x=0 \Rightarrow x=5$. $A'$ change de signe (+ puis -), donc maximum en $x=5$ : le rectangle est un carré de côté 5 m, aire maximale $25\text{ m}^2$.