Ce chapitre couvre la résolution des équations différentielles du premier ordre $y'=ay+b$ et du second ordre $y''+ay'+by=0$.

Équation du premier ordre $y'=ay+b$ · المعادلة من الرتبة الأولى $y'=ay+b$

Les solutions de $y'=ay$ sont $y=ke^{ax}$. Pour $y'=ay+b$ ($a\neq0$), on cherche d'abord une solution particulière constante $y_p=-b/a$, puis on ajoute la solution générale de l'équation homogène : $y=ke^{ax}-b/a$.

$$y'=ay+b \;(a\neq0) \;\Longrightarrow\; y=k\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}, \quad k\in\mathbb{R}$$

Équation du second ordre $y''+ay'+by=0$ · المعادلة من الرتبة الثانية $y''+ay'+by=0$

On résout l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ de discriminant $\Delta$. Si $\Delta>0$ : deux racines réelles $r_1,r_2$, solutions $y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}$. Si $\Delta=0$ : racine double $r_0$, solutions $y=(Ax+B)e^{r_0x}$. Si $\Delta<0$ : racines complexes $r=\alpha\pm i\beta$, solutions $y=e^{\alpha x}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$.

$$\Delta>0: y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} \quad \Delta=0: y=(Ax+B)e^{r_0x} \quad \Delta<0: y=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$$

• Pour $y'=ay+b$ : solution = constante particulière $-b/a$ + solution homogène $ke^{ax}$
• Pour $y''+ay'+by=0$ : tout dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$
• Les constantes ($k$, ou $A,B$) se déterminent grâce aux conditions initiales données