Ce chapitre couvre le calcul algébrique sur les logarithmes et exponentielles, leur résolution d'équations/inéquations, le logarithme décimal, et l'étude complète de fonctions associées.
$\exp$ ($e^x$) est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'=f$, $f(0)=1$. $e^{x+y}=e^xe^y$, $e^{-x}=1/e^x$.
$$(e^x)'=e^x \qquad \lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty \quad\text{(croissances comparées)}$$
$\ln$ est la réciproque de $\exp$ sur $]0;+\infty[$. Propriétés : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$, $\ln1=0$, $\ln e=1$.
$$(\ln x)'=\dfrac1x \qquad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad \lim_{x\to0^+} x\ln x=0$$
Pour une équation logarithmique, on commence TOUJOURS par déterminer le domaine de validité (arguments strictement positifs), puis on utilise les propriétés algébriques pour se ramener à une équation simple. Pour les systèmes à deux inconnues (ex : $\ln x+\ln y=a$, $x+y=b$), on combine substitution et propriétés du logarithme.
Le logarithme décimal est défini par $\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$. Il est particulièrement utile pour résoudre des équations du type $10^x=a$ (solution $x=\log a$) et les inéquations associées $10^x\leq a$ ou $10^x\geq a$.
$$\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10} \qquad 10^x=a \;\Longleftrightarrow\; x=\log(a)$$
L'étude complète d'une fonction (ou composée) impliquant $\ln$ ou $\exp$ suit le plan classique : domaine de définition, limites aux bornes (souvent via croissances comparées), signe de la dérivée, éléments de symétrie/périodicité si pertinents, branches infinies, tangentes remarquables, concavité et points d'inflexion, puis tracé de la courbe.
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Domaine : $2x-1>0$ et $x+3>0$, soit $x>1/2$. L'égalité des logarithmes donne $2x-1=x+3 \Rightarrow x=4$, qui vérifie $x>1/2$. $S=\{4\}$.
$10^x\leq50 \Leftrightarrow x\leq\log(50)$ (fonction exponentielle de base 10 croissante). $S=\,]-\infty;\log(50)]$.