Ce chapitre introduit le produit vectoriel et ses applications géométriques (aires, plans, distances).

Définition et coordonnées du produit vectoriel · تعريف ومرتبات الجداء المتجهي

$\vec u\wedge\vec v$ est orthogonal à $\vec u$ et $\vec v$, de norme $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin\theta$. En coordonnées : $\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy';zx'-xz';xy'-yx')$.

$$\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx')$$

Aire d'un triangle · مساحة مثلث

L'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|$.

$$\text{Aire}(ABC) = \dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|$$

Équation d'un plan défini par trois points · معادلة مستوى معرف بثلاث نقط

Pour un plan défini par 3 points non alignés $A,B,C$ : on calcule $\vec n=\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ (vecteur normal au plan), puis on utilise $A$ et $\vec n$ pour écrire l'équation cartésienne.

Distance d'un point à une droite · المسافة بين نقطة ومستقيم

La distance d'un point $M$ à une droite $(A,\vec u)$ est $d(M,\Delta)=\dfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}$.

$$d(M,\Delta) = \dfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}$$

• $\vec u\wedge\vec v$ n'est PAS commutatif : $\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u$
• $\vec u\wedge\vec v=\vec0 \Leftrightarrow \vec u,\vec v$ colinéaires
• Pour un plan défini par 3 points : produit vectoriel de deux vecteurs du plan = vecteur normal