Dénombrement et probabilité

Arrangements $A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ (ordre compte, sans répétition), permutations $n!$, combinaisons $C_n^p=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ (ordre ne compte pas). Probabilité (univers fini équiprobable) : $P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$. $P(\overline A)=1-P(A)$ ; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Probabilité conditionnelle et indépendance

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ($P(B)\neq0$), d'où $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$. Formule des probabilités totales si $B_1,\dots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ : $P(A)=\sum P(B_i)P_{B_i}(A)$. $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ (équivalent à $P_B(A)=P(A)$) : attention, indépendance et incompatibilité sont deux notions différentes.

Variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition

Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue. Sa loi de probabilité est le tableau des $P(X=x_i)$. Espérance $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$, variance $V(X)=\sum x_i^2P(X=x_i)-[E(X)]^2$, écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$. Fonction de répartition $F(x)=P(X\le x)$ : fonction en escalier, croissante, de 0 à 1.

Loi binomiale

Schéma de Bernoulli répété $n$ fois de façon indépendante avec probabilité de succès $p$ : $X$ = nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. $P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$. $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.