$\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$. Linéarité, positivité, relation de Chasles $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$. Intégration par parties : $\int_a^b u'(t)v(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\,dt$ — essentielle pour les produits comme $\int t e^t\,dt$, $\int t\ln t\,dt$, $\int t\sin t\,dt$ au programme SM.
Aire entre $C_f$ et $C_g$ sur $[a,b]$ où $f\ge g$ : $\mathcal{A}=\int_a^b[f(t)-g(t)]\,dt$ (en unités d'aire). Volume de révolution autour de l'axe $(Ox)$, pour $f$ continue sur $[a,b]$ : $V=\pi\int_a^b [f(t)]^2\,dt$ (en unités de volume). Autour de l'axe $(Oy)$ (sur $[c,d]$ image), formule analogue avec la fonction réciproque ou en intervertissant les rôles de $x$ et $y$.
Pour $f$ continue sur $[a,b]$, les suites $u_n=\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$ et $v_n=\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)$ convergent toutes deux vers $\int_a^b f(t)\,dt$ quand $n\to+\infty$ (méthode des rectangles, $u_n$ majorant/minorant selon la monotonie de $f$). C'est l'outil pour calculer la limite de sommes du type $\dfrac1n\sum_{k=1}^n f(k/n)$ en les reconnaissant comme une somme de Riemann sur $[0,1]$.
Pour $g(x)=\int_a^{u(x)} f(t)\,dt$ avec $f$ continue et $u$ dérivable : $g'(x)=u'(x)\,f(u(x))$ (dérivée d'une composée avec une primitive). On utilise cette technique pour étudier le sens de variation et les limites de fonctions définies par une intégrale, ainsi que pour des suites $u_n=\int_a^b f_n(t)\,dt$ où l'on encadre l'intégrande pour encadrer $u_n$ (théorème des gendarmes) ou pour prouver une inégalité par positivité de l'intégrale d'une fonction de signe constant.
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$u(t)=t,\ v'(t)=e^t \Rightarrow u'=1,\ v=e^t$. $\int_0^1 te^t\,dt=[te^t]_0^1-\int_0^1 e^t\,dt=e-0-(e-1)=1$.
C'est $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k/n)$ avec $f(x)=\dfrac1{1+x}$ sur $[0,1]$, donc $u_n\to\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx=[\ln(1+x)]_0^1=\ln2$.