$f$ dérivable en $a$ : $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ existe (tangente de pente $f'(a)$). Règles : $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, $(g\circ f)'=f'\times g'\circ f$. Dérivée de la réciproque : si $f$ bijective dérivable et $f'$ ne s'annule pas, $(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Théorème de Rolle : si $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et $f(a)=f(b)$, alors $\exists c\in]a,b[,\ f'(c)=0$. Théorème des accroissements finis (TAF) : sous les mêmes hypothèses de continuité/dérivabilité, $\exists c\in]a,b[,\ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Inégalité des accroissements finis (IAF) : si $m\le f'(x)\le M$ sur $[a,b]$, alors $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$ ; en particulier si $|f'|\le k$, alors $|f(b)-f(a)|\le k|b-a|$. L'IAF sert à majorer l'écart $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k|u_n-\ell|$ pour prouver la convergence géométrique d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ vers son point fixe $\ell$.
Étude type : ensemble de définition, parité/périodicité, limites aux bords, dérivée et tableau de signe (monotonie), dérivée seconde (concavité : $f''>0$ convexe, $f''<0$ concave), points d'inflexion ($f''$ change de signe), asymptotes (horizontales, verticales, obliques via $\lim[f(x)-(ax+b)]=0$), tangentes remarquables, tableau de variations, courbe.
Lire les formules de dérivation « à l'envers » : primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n\neq-1$) ; de $u'e^u$ est $e^u$ ; de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$ ; de $u'u^n$ est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, qui diffèrent d'une constante.
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$f'(x)=3x^2-3$, $|f'(x)|\le 3\times4-3=9$ sur $[-2,2]$ (majorant). IAF : $|f(2)-f(0)|\le 9\times|2-0|=18$. Calcul direct : $f(2)=3,\ f(0)=1$, donc $|3-1|=2\le18$ ✓ (l'IAF donne un majorant, pas la valeur exacte).
$f'(x)=\dfrac12$, constante, donc par IAF $|f(x)-f(1)|\le\dfrac12|x-1|$, soit $|f(x)-1|\le\dfrac12|x-1|$. En itérant : $|u_{n+1}-1|\le\dfrac12|u_n-1|$, donc par récurrence $|u_n-1|\le\left(\dfrac12\right)^n|u_0-1|\to0$ : convergence géométrique vers 1.