Solution générale : $y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ($a\neq0$), $C\in\mathbb{R}$ constante déterminée par une condition initiale $y(x_0)=y_0$. Méthode : on trouve la solution particulière constante $y_p=-b/a$ (point d'équilibre), puis on ajoute la solution générale de l'équation homogène $y'=ay$, soit $Ce^{ax}$.
On forme l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ de discriminant $\Delta$. Trois cas : (1) $\Delta>0$, racines réelles distinctes $r_1,r_2$ : $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$. (2) $\Delta=0$, racine double $r_0$ : $y=(C_1x+C_2)e^{r_0x}$. (3) $\Delta<0$, racines complexes $\alpha\pm i\beta$ : $y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))$. Les constantes $C_1,C_2$ se déterminent avec deux conditions (souvent $y(x_0)$ et $y'(x_0)$).
Certaines équations se ramènent par changement de fonction inconnue (ex. $z=y'$, ou $z=y-y_p$) à l'une des deux formes ci-dessus. Méthode : identifier d'abord l'ordre et les coefficients, isoler la partie homogène, puis chercher une solution particulière adaptée au second membre (constante si second membre constant).
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$a=2,\ b=4$, solution particulière $y_p=-4/2=-2$. $y=Ce^{2x}-2$. $y(0)=1 \Rightarrow C-2=1\Rightarrow C=3$. Donc $y(x)=3e^{2x}-2$.
Équation caractéristique $r^2+1=0 \Rightarrow r=\pm i$ ($\alpha=0,\beta=1$). $y=C_1\cos x+C_2\sin x$. $y(0)=0\Rightarrow C_1=0$. $y'=C_2\cos x$, $y'(0)=1\Rightarrow C_2=1$. Donc $y(x)=\sin x$.