$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. $f$ est continue sur un intervalle si elle l'est en chaque point. Les fonctions usuelles (polynômes, racine, $\sin$, $\cos$, $\ln$, $\exp$) sont continues sur leur domaine ; somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues.
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle. Si $f$ est continue sur $[a,b]$, $f(I)$ est un segment $[\min,\max]$. TVI : si $f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a)\cdot f(b)<0$ (ou $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$), alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=k$. Si de plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.
Pour approcher la solution $c$ de $f(x)=0$ sur $[a,b]$ : on coupe en $m=\dfrac{a+b}2$, on regarde le signe de $f(m)$, on garde le sous-intervalle où le signe change, et on répète. Chaque itération divise l'incertitude par 2 ; après $n$ étapes l'erreur est inférieure à $\dfrac{b-a}{2^n}$.
Théorème de la bijection : si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}$ est continue, de même sens de variation que $f$, sur $f(I)$. Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$. C'est ce théorème qui justifie la construction de $\ln$ (réciproque de $\exp$) et des fonctions racines $n$-ièmes.
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$f(x)=x^3+x-1$ est continue (polynôme) sur $[0,1]$. $f(0)=-1<0$, $f(1)=1>0$, donc $f(0)f(1)<0$ : par TVI il existe $c\in]0,1[$ avec $f(c)=0$. $f'(x)=3x^2+1>0$ donc $f$ strictement croissante : la solution est unique.
$y=x^3-2 \Leftrightarrow x^3=y+2 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{y+2}$. Donc $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+2}$, définie et continue sur $\mathbb{R}$, strictement croissante.