Une loi $*$ sur $E$ est interne si $\forall a,b\in E,\ a*b\in E$. Propriétés étudiées : associativité $(a*b)*c=a*(b*c)$, commutativité $a*b=b*a$, élément neutre $e$ ($a*e=e*a=a$), élément symétrique (inverse) de $a$ ($a*a^{-1}=e$), distributivité d'une loi par rapport à une autre.
$(G,*)$ est un groupe si $*$ est associative, possède un neutre, et tout élément a un symétrique ; si de plus $*$ est commutative, le groupe est abélien (ex. $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R}^*,\times)$). $(A,+,\times)$ est un anneau si $(A,+)$ est un groupe abélien, $\times$ associative et distributive par rapport à $+$ ; si $\times$ est commutative et possède un neutre, l'anneau est commutatif unitaire (ex. $(\mathbb{Z},+,\times)$). $(K,+,\times)$ est un corps si $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire où tout élément non nul est inversible pour $\times$ (ex. $(\mathbb{R},+,\times)$, $(\mathbb{C},+,\times)$, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\times)$ pour $p$ premier).
$H\subset G$ est un sous-groupe si $H\neq\emptyset$ et $\forall a,b\in H,\ ab^{-1}\in H$ (propriété caractéristique, évite de re-vérifier tous les axiomes). Un homomorphisme $f:(G,*)\to(G',\star)$ vérifie $f(a*b)=f(a)\star f(b)$ : il transporte la structure (transforme neutre en neutre, symétrique en symétrique). Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif : les deux structures sont alors « identiques » (mêmes propriétés algébriques).
Propriété caractéristique d'un sous-espace vectoriel $F\subset E$ : $F\neq\emptyset$ et $\forall u,v\in F,\forall \lambda\in\mathbb{R},\ u+\lambda v\in F$. Une famille $(e_1,\dots,e_n)$ est libre si $\sum\lambda_ie_i=0\Rightarrow$ tous les $\lambda_i=0$ ; génératrice si tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $e_i$ ; une base est une famille libre et génératrice. Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base, tout vecteur $u$ s'écrit de façon unique $u=\sum x_ie_i$ ; les $x_i$ sont les composantes (coordonnées) de $u$ dans cette base.
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$H\neq\emptyset$ car $1\in H$. Soient $z,w\in H$ : $\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}=\dfrac11=1$, donc $zw^{-1}\in H$. $H$ est bien un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$.
$(2,2)=2\times(1,1)$, donc il existe une relation de dépendance non triviale : la famille est liée (non libre).