Une suite récurrente du type $u_{n+1}=au_n+b$ (avec $a\neq 1$) se ramène à une suite géométrique en posant $v_n=u_n-\ell$ où $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ est le point fixe de $f(x)=ax+b$. On montre alors que $v_{n+1}=av_n$, donc $v_n=a^n v_0$, puis $u_n=\ell+a^n(u_0-\ell)$. Pour une suite arithmétique $u_{n+1}=u_n+r$ : $u_n=u_0+nr$. Pour une suite géométrique $u_{n+1}=qu_n$ : $u_n=u_0 q^n$. Somme : $\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq1$.
Limites de référence à connaître : $\lim q^n=0$ si $|q|<1$, $+\infty$ si $q>1$ ; $\lim \dfrac{\ln n}{n}=0$ ; $\lim n q^n=0$ si $|q|<1$. Théorèmes de comparaison : si $u_n\le v_n$ à partir d'un rang et $u_n\to+\infty$ alors $v_n\to+\infty$ (et inversement pour $-\infty$). Théorème des gendarmes : si $v_n\le u_n\le w_n$ et $v_n,w_n\to \ell$ alors $u_n\to\ell$. Théorème de convergence monotone : toute suite croissante majorée converge ; toute suite décroissante minorée converge ; toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et $\lim(v_n-u_n)=0$. Théorème : deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$, avec $u_n\le\ell\le v_n$ pour tout $n$. C'est l'outil classique pour encadrer une limite qu'on ne sait pas calculer directement (ex. suites définies par des sommes ou des intégrales).
Si $u_n\to a$ et $f$ est continue en $a$, alors $f(u_n)\to f(a)$. Pour une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue sur un intervalle $I$ tel que $f(I)\subset I$ et $u_0\in I$ : (1) on prouve par récurrence que $u_n\in I$ pour tout $n$ (stabilité de l'intervalle) ; (2) on étudie le signe de $f(x)-x$ pour déterminer le sens de variation de $(u_n)$ ; (3) si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell$ est un point fixe : $f(\ell)=\ell$ (par continuité, en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$) ; (4) on combine monotonie + bornes (issues de la stabilité de $I$) pour conclure à la convergence via le théorème de convergence monotone, puis on identifie $\ell$ parmi les solutions de $f(x)=x$ dans $I$.
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Point fixe : $\ell=\dfrac12\ell+3 \Rightarrow \ell=6$. Par récurrence, $u_n<6$ pour tout $n$ (vrai pour $n=0$ ; si $u_n<6$ alors $u_{n+1}=\frac12u_n+3<\frac12\cdot6+3=6$). $u_{n+1}-u_n=3-\frac12u_n>0$ car $u_n<6$, donc $(u_n)$ est croissante. Croissante et majorée $\Rightarrow$ convergente vers $\ell=6$.
$f(0)=\sqrt3\approx1{,}73\in I$, $f(3)=3\in I$, $f$ croissante donc $f(I)=[\sqrt3,3]\subset I$. Point fixe : $x=\sqrt{2x+3}\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3$ (seule racine positive). $f(x)-x>0$ sur $[0,3[$ donc $(u_n)$ est croissante, majorée par 3, donc converge vers $\ell=3$.