Ce chapitre applique le produit scalaire à l'étude des sphères et à la distance d'un point à un plan.

Caractérisation analytique de la sphère · التوصيف التحليلي للفلكة

L'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ peut être une sphère, un point, ou l'ensemble vide, selon le signe du discriminant obtenu après mise sous forme canonique.

$$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$$

Équation cartésienne d'une sphère (centre, rayon) · المعادلة الديكارتية لفلكة (المركز، الشعاع)

La sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$

Caractérisation par $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ · التوصيف بالعلاقة $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$

L'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est la sphère de diamètre $[AB]$ (car cela signifie que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit).

Distance d'un point à un plan et positions relatives · المسافة بين نقطة ومستوى والوضعيات النسبية

La distance d'un point $M_0(x_0;y_0;z_0)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ est $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Cette distance permet d'étudier les positions relatives plan/sphère (comparaison à $r$) ou droite/sphère.

$$d(M_0,P) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

• Toujours mettre sous forme canonique pour identifier centre/rayon d'une sphère
• $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ caractérise la sphère de diamètre $[AB]$
• Comparer $d(\Omega,P)$ à $r$ pour déterminer la position relative plan/sphère