Ce chapitre couvre le calcul d'intégrales (primitive, intégration par parties), les aires entre courbes, et les volumes de solides de révolution.
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'=f$. Pour $f$ continue sur $[a;b]$, $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ pour toute primitive $F$.
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Technique utilisée typiquement pour $xe^x$, $x\ln x$, etc. : $\int_a^b u'v\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b uv'\,dx$.
$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$
L'aire entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[a;b]$ est $A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$. Si on ne connaît pas le signe de $f-g$, il faut d'abord étudier ce signe et découper l'intervalle en conséquence.
Le volume engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses, entre $x=a$ et $x=b$, est donné par $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (en unités de volume).
$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$$
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$V=\pi\int_0^4 (\sqrt x)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\times8=8\pi$.
Sur $[0;1]$, $g(x)\geq f(x)$ (car $x\geq x^2$). $A=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$.