Le dipôle RC (résistance + condensateur en série) est un circuit fondamental dont l'étude repose sur l'équation différentielle du premier ordre. Il sert de filtre, de circuit de temporisation et modélise de nombreux phénomènes physiques.
Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique). En convention récepteur, si u_C est la tension aux bornes du condensateur et q la charge sur l'armature positive, on a $q = C \cdot u_C$, où C est la capacité en Farads (F). Les sous-multiples courants : 1 μF = $10^{-6}$ F, 1 nF = $10^{-9}$ F, 1 pF = $10^{-12}$ F. L'intensité du courant dans un condensateur est i = dq/dt = C × du_C/dt. La tension u_C est une fonction continue (elle ne peut pas varier instantanément). L'association en série donne 1/C_éq = Σ(1/Cᵢ) ; en parallèle C_éq = ΣCᵢ. L'énergie emmagasinée dans un condensateur chargé est $E_C = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$.
Lors de la fermeture du circuit RC alimenté par une tension continue E, l'équation de la maille donne : E = u_R + u_C = Ri + u_C = RC × du_C/dt + u_C. C'est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. La solution avec condition initiale u_C(0) = 0 est : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$, avec $\tau = RC$ (constante de temps en secondes). Le courant est i(t) = (E/R) × e^(-t/τ). À t = 0 : u_C = 0, i = E/R (maximum). À t = τ : u_C ≈ 0,63 E. À t = 5τ : u_C ≈ 0,993 E ≈ E (régime permanent). La tension u_C est continue mais le courant i est discontinu à t = 0 (il passe de 0 à E/R instantanément).
Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé à U₀, l'équation de maille donne : 0 = u_R + u_C = RC × du_C/dt + u_C. La solution avec u_C(0) = U₀ est : $u_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau}$, avec $\tau = RC$. Le courant i(t) = -(U₀/R) × e^(-t/τ) (signe négatif car le courant s'inverse lors de la décharge). À t = τ : u_C = U₀/e ≈ 0,368 U₀. La constante de temps $\tau = RC$ se détermine graphiquement : c'est l'abscisse du point où la tangente à l'origine coupe l'asymptote, ou le temps pour atteindre 0,632 U₀ (charge) ou 0,368 U₀ (décharge).
Plus la résistance R est grande, plus la charge est lente ($\tau = RC$ augmente). Plus la capacité C est grande, plus la charge est lente (τ augmente). Ces propriétés permettent d'utiliser le circuit RC comme circuit de temporisation (retard), filtre passe-bas (il laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes), ou circuit d'intégration. En mesurant τ expérimentalement (en lisant t₀,63 sur la courbe), on peut déterminer C si R est connue, ou R si C est connue. L'énergie finale emmagasinée lors d'une charge complète est E_C = ½ × C × E². L'énergie fournie par le générateur est E_gen = C × E², donc la moitié est dissipée dans R.
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τ = RC = 10×10³ × 100×10⁻⁶ = 1 s. u_C(τ) = 12(1 − e⁻¹) = 12 × 0,632 ≈ 7,58 V. u_C(5τ) = 12(1 − e⁻⁵) ≈ 12 × 0,993 ≈ 11,9 V ≈ 12 V. E_C = ½ × 100×10⁻⁶ × 144 = 7,2×10⁻³ J = 7,2 mJ.
u_C(t) = U₀ e^(-t/τ) → 3,0 = 8 e^(-4×10⁻³/τ) → e^(-4×10⁻³/τ) = 0,375 → -4×10⁻³/τ = ln(0,375) = -0,981 → τ = 4×10⁻³/0,981 ≈ 4,08×10⁻³ s ≈ 4 ms. C = τ/R = 4×10⁻³/(5×10³) = 8×10⁻⁷ F = 0,8 μF.
5τ = 5 s → τ = 1 s. τ = RC → R = τ/C = 1/(470×10⁻⁶) ≈ 2128 Ω ≈ 2,1 kΩ.