Fonction logarithme népérien

$\ln$ est la réciproque de $\exp$ : $\ln(e^x)=x$, $e^{\ln x}=x$ ($x>0$). Propriétés algébriques : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$, $\ln\sqrt{a}=\frac12\ln a$. Dérivée : $(\ln x)'=\dfrac1x$, $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$. Limites de référence : $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, $\lim_{x\to0}x\ln x=0$, $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$.

Fonction exponentielle népérienne et puissances réelles

$\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, $(e^x)'=e^x$, $(e^u)'=u'e^u$. Propriétés : $e^{a+b}=e^a e^b$, $e^{-a}=\dfrac1{e^a}$, $(e^a)^n=e^{na}$. Limites : $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$, $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$. Puissance réelle : pour $a>0$ et $b\in\mathbb{R}$, $a^b=e^{b\ln a}$ ; cela généralise $a^n$ à tout exposant réel et permet de dériver $x\mapsto x^\alpha$ : $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

Équations, inéquations et systèmes logarithmiques/exponentiels

Méthode générale : poser les conditions d'existence (arguments des $\ln$ strictement positifs), utiliser la stricte monotonie de $\ln$/$\exp$ pour transformer une égalité $\ln A=\ln B \Leftrightarrow A=B$ (avec $A,B>0$), ou $e^A=e^B\Leftrightarrow A=B$. Pour les inéquations, la croissance stricte conserve le sens de l'inégalité. Pour les systèmes, on pose souvent $X=\ln x$ ou $X=e^x$ pour ramener à un système algébrique classique (souvent du second degré).