Forme algébrique $z=a+ib$ ; module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ; forme exponentielle $z=re^{i\theta}$. Conjugué $\bar z=a-ib$, avec $z\bar z=|z|^2$. Règles : $|zz'|=|z||z'|$, $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$, $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$. Formule de Moivre $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ et formules d'Euler $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$, $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ servent à linéariser ($\cos^2,\sin^3$, etc.) ou développer $\cos(n\theta)$.
À $z=a+ib$ on associe le point $M(a,b)$. $|z_B-z_A|=AB$ ; $\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ; $A,B,C$ alignés $\Leftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$ ; $(AB)\perp(AC) \Leftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}^*$ ; $A,B,C,D$ cocycliques $\Leftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\Big/\dfrac{z_C-z_D}{z_B-z_D}\in\mathbb{R}$. Barycentre de points pondérés : $z_G=\dfrac{\sum \alpha_i z_i}{\sum\alpha_i}$.
$az^2+bz+c=0$, $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta\ge0$ racines réelles classiques ; si $\Delta<0$ racines complexes conjuguées $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Équation $z^n=a$ ($a=\rho e^{i\varphi}\neq0$) : solutions $z_k=\rho^{1/n}e^{i(\varphi+2k\pi)/n}$, $k=0,\dots,n-1$ — ce sont $n$ points formant un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\rho^{1/n}$.
Translation de vecteur d'affixe $b$ : $z'=z+b$. Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$. Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ : $z'-\omega=k(z-\omega)$. Composée de deux rotations de même centre : rotation d'angle somme ; de centres différents : rotation (ou translation si la somme des angles est multiple de $2\pi$) — on détermine la transformation composée en combinant les écritures complexes successives.
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$\Delta=4-20=-16<0$. $z=\dfrac{2\pm i\sqrt{16}}{2}=1\pm2i$. $S=\{1-2i,\ 1+2i\}$.
$8i=8e^{i\pi/2}$. $z_k=2e^{i(\pi/2+2k\pi)/3}$, $k=0,1,2$ : $z_0=2e^{i\pi/6}$, $z_1=2e^{i5\pi/6}$, $z_2=2e^{i3\pi/2}=-2i$. Les trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$, rayon 2.