Ce chapitre couvre l'orthogonalité par le produit scalaire, et son utilisation pour caractériser plans et droites dans l'espace.
$\vec u\cdot\vec v=0 \Leftrightarrow \vec u\perp\vec v$ (pour des vecteurs non nuls). En coordonnées, $\vec u(x;y;z)\cdot\vec v(x';y';z')=xx'+yy'+zz'$.
$$\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz' \qquad \vec u\perp\vec v \;\Longleftrightarrow\; \vec u\cdot\vec v=0$$
Vectoriellement, on démontre l'orthogonalité en exprimant les vecteurs en fonction d'une base et en calculant leur produit scalaire. Analytiquement, on utilise directement les coordonnées dans un repère orthonormé.
Un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ a pour équation $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, soit $ax+by+cz+d=0$.
$$ax+by+cz+d=0, \quad \vec n(a;b;c) \text{ normal au plan}$$
Une droite orthogonale à un plan de vecteur normal $\vec n$ admet $\vec n$ comme vecteur directeur. Passant par $A(x_0;y_0;z_0)$, sa représentation paramétrique est $\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}, t\in\mathbb{R}$.
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$\vec u\cdot\vec v=3-2-1=0$. Donc $\vec u\perp\vec v$.
$2x-y+3z+d=0$. En $A$ : $2-0+6+d=0 \Rightarrow d=-8$. Équation : $2x-y+3z-8=0$.