Ce chapitre applique le produit scalaire à l'étude des sphères et à la distance d'un point à un plan.
L'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ peut être une sphère, un point, ou l'ensemble vide, selon le signe du discriminant obtenu après mise sous forme canonique.
$$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$$
La sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$
L'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est la sphère de diamètre $[AB]$ (car cela signifie que l'angle $\widehat{AMB}$ est droit).
La distance d'un point $M_0(x_0;y_0;z_0)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ est $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Cette distance permet d'étudier les positions relatives plan/sphère (comparaison à $r$) ou droite/sphère.
$$d(M_0,P) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
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$(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+z^2-3=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=8$. Centre $(2;-1;0)$, rayon $\sqrt8=2\sqrt2$.
$d(\Omega,P)=\dfrac{|0-3|}{\sqrt3}=\sqrt3\approx1{,}7<5$. Le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon $\sqrt{25-3}=\sqrt{22}$.