Ce chapitre approfondit le calcul algébrique sur les complexes, et surtout leurs applications géométriques (transformations, alignement, équations du second degré).
$z=a+ib=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$. Le passage entre formes utilise $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et $\theta=\arg(z)$ (avec $\cos\theta=a/r$, $\sin\theta=b/r$).
$$z = a+ib = r\,e^{i\theta}$$
Pour linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ (les exprimer comme somme de $\cos(k\theta)$/$\sin(k\theta)$), on utilise $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$, puis on développe avec le binôme de Newton.
Distance : $AB=|z_B-z_A|$. Angle : $(\vec{AB},\vec{AC})=\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$. Alignement de $A,B,C$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$. Orthogonalité de $(AB)$ et $(AC)$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}$.
$$AB=|z_B-z_A| \qquad A,B,C \text{ alignés} \Leftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$$
Translation de vecteur $\vec u(b)$ : $z'=z+b$. Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et rapport $k$ : $z'-\omega=k(z-\omega)$. Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et angle $\theta$ : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$.
Pour $az^2+bz+c=0$ ($a,b,c$ réels), on calcule $\Delta=b^2-4ac$. Si $\Delta\geq0$ : solutions réelles habituelles. Si $\Delta<0$ : solutions complexes conjuguées $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
$$\Delta<0 \;\Longrightarrow\; z = \dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$
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$\Delta=1-4=-3<0$. $z=\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}$.
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{(2-1)+(4-1)i}{(3-1)+(3-1)i}=\dfrac{1+3i}{2+2i}=\dfrac{(1+3i)(2-2i)}{8}=\dfrac{2-2i+6i+6}{8}=\dfrac{8+4i}{8}=1+0{,}5i$. Ce n'est pas réel, donc $A,B,C$ ne sont PAS alignés.