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2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

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📐 Algèbre · Chapitre 7 · الجبر

Les nombres complexesالأعداد العقدية

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

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Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي

Maîtriser le calcul algébrique sur les nombres complexes (formes algébrique, trigonométrique et exponentielle)
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique d'un nombre complexe, et inversement
Linéariser des polynômes trigonométriques à l'aide de la notation exponentielle
Traduire en complexes la distance, les angles, l'alignement et l'orthogonalité, et les utiliser pour résoudre des problèmes de géométrie
Exprimer et reconnaître la translation, l'homothétie et la rotation par leur écriture complexe
Résoudre dans ℂ les équations z² = a (a réel) et les équations qui se ramènent au second degré à coefficients réels

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Vidéo du cours

فيديو الدرس

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Les capsules vidéo de ce chapitre sont en préparation.
En attendant, le cours écrit, l'essentiel, le quiz et les exercices corrigés sont disponibles ci-dessous.

Le cours en 7 capsules courtes · bientôt disponibles

1Le nombre i et la forme algébriquebientôt

2Affixe, module et distancesbientôt

3Argument et forme trigonométriquebientôt

4Forme exponentielle, Moivre et Eulerbientôt

5Équations du second degré dans ℂbientôt

6Angles, alignement et nature d'un trianglebientôt

7Translation, homothétie et rotationbientôt

📖

Le cours

الدرس

💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق

Résolvons l'équation $z^{2}-2z+2=0$. Son discriminant est $\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times2=-4$ : il est négatif, donc l'équation n'a aucune solution réelle, car aucun réel n'a un carré égal à $-4$.
Et si l'on acceptait un nouveau nombre, noté $i$, tel que $i^{2}=-1$ ? Alors $-4=4i^{2}=(2i)^{2}$, et la formule habituelle donne deux solutions : $z_{1}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i$ et $z_{2}=1-i$.
Vérifions pour $z_{1}$ : $(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$, donc $(1+i)^{2}-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0$. Ça marche !
Un peu d'histoire. Au XVI^e siècle, les mathématiciens italiens cherchent les solutions de $x^{3}=15x+4$. La solution réelle est $x=4$ (car $64=60+4$). Pourtant, la formule de Cardan oblige à passer par des « racines carrées de nombres négatifs ». Bombelli remarque que $(2+i)^{3}=2+11i$ et $(2-i)^{3}=2-11i$, et la formule donne alors $x=(2+i)+(2-i)=4$. Ces nombres « imaginaires » servaient donc à trouver une solution bien réelle.
Dans ce chapitre, on construit cet ensemble de nombres, appelé ensemble des nombres complexes. On apprend à y calculer, puis à l'utiliser en géométrie : distances, angles et transformations du plan.

🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل

Calculer avec les nombres complexes sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, et inversement.
Utiliser le module et l'argument pour calculer des distances et des angles.
Linéariser des expressions trigonométriques à l'aide des formules d'Euler.
Résoudre dans $\mathbb C$ les équations du second degré à coefficients réels.
Utiliser les nombres complexes en géométrie : alignement, orthogonalité, nature d'un triangle, translation, homothétie et rotation.

Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.

📘1. L'ensemble ℂ et la forme algébriqueمجموعة الأعداد العقدية والكتابة الجبرية

📘 DÉFINITIONS

Définition. Il existe un ensemble, noté $\mathbb C$, qui contient $\mathbb R$ et un nombre $i$ tel que $i^{2}=-1$. On y calcule avec les mêmes règles que dans $\mathbb R$. Ses éléments sont les nombres complexes.

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. C'est la forme algébrique de $z$ :

$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ;
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$. C'est un réel : pour $z=3-4i$, $\mathrm{Im}(z)=-4$ et non $-4i$.

Cas particuliers. $z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(z)=0$. $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=0$ (par exemple $5i$ ou $-i$).

Égalité. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : $a+ib=a'+ib'\iff a=a'$ et $b=b'$. En particulier, $a+ib=0\iff a=0$ et $b=0$.

✏️ EXEMPLE

Soit $a$ un réel et $z=(a-2)+(a+3)i$. 1) Pour quelle valeur de $a$ le nombre $z$ est-il réel ? 2) Imaginaire pur ? 3) Trouver les réels $x$ et $y$ tels que $x+2i=3+yi$.
Solution. 1) $z$ est réel $\iff\mathrm{Im}(z)=0$ $\iff a+3=0$ $\iff a=-3$. On a alors $z=-5$.
2) $z$ est imaginaire pur $\iff\mathrm{Re}(z)=0$ $\iff a-2=0$ $\iff a=2$. On a alors $z=5i$.
3) On identifie les parties réelles et les parties imaginaires : $x=3$ et $y=2$.

✋ À TOI

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{1}=5-i\sqrt2$ et de $z_{2}=-3i$. Lequel est imaginaire pur ?

Voir la réponse

Réponse. $\mathrm{Re}(z_{1})=5$ et $\mathrm{Im}(z_{1})=-\sqrt2$ ; $\mathrm{Re}(z_{2})=0$ et $\mathrm{Im}(z_{2})=-3$. C'est $z_{2}$ qui est imaginaire pur.

📐2. Somme, produit et puissances de iالجمع والضرب وقوى i

📐 PROPRIÉTÉS

On calcule comme avec des réels, puis on remplace $i^{2}$ par $-1$. Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ :

Somme : $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ ;
Produit : on développe, puis $i^{2}=-1$. On obtient $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$ ;
les identités remarquables restent vraies, par exemple $(a+ib)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$ et $(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}$.

Puissances de $i$. $i^{0}=1$, $i^{1}=i$, $i^{2}=-1$, $i^{3}=i^{2}\times i=-i$ et $i^{4}=\left(i^{2}\right)^{2}=1$. Ensuite tout recommence de 4 en 4 : $i^{n}$ ne dépend que du reste de la division de $n$ par 4.

✏️ EXEMPLE

Écrire sous forme algébrique : 1) $(2+3i)+(1-i)$ ; 2) $(2+3i)(1-i)$ ; 3) $(1+i)^{2}$ puis $(1+i)^{4}$ ; 4) $i^{2026}$.
Solution. 1) $(2+3i)+(1-i)=3+2i$.
2) $(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^{2}=2+i+3=5+i$.
3) $(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$, donc $(1+i)^{4}=(2i)^{2}=4i^{2}=-4$.
4) $2026=4\times506+2$, donc $i^{2026}$ $=\left(i^{4}\right)^{506}\times i^{2}$ $=1\times(-1)$ $=-1$.

✋ À TOI

Écrire $(1-2i)^{2}$ sous forme algébrique, puis calculer $i^{15}$.

Voir la réponse

Réponse. $(1-2i)^{2}=1-4i+4i^{2}=-3-4i$. Et $15=4\times3+3$, donc $i^{15}=i^{3}=-i$.

📐3. Le conjugué d'un nombre complexeمرافق عدد عقدي

📐 PROPRIÉTÉS

Définition. Le conjugué de $z=a+ib$ (avec $a$ et $b$ réels) est $\overline z=a-ib$ : on change le signe de la partie imaginaire. Par exemple $\overline{3+2i}=3-2i$, $\overline{-5i}=5i$ et $\overline{7}=7$.

Propriétés. Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ :

$\overline{z+z'}$ $=\overline z+\overline{z'}$ et $\overline{zz'}$ $=\overline z\times\overline{z'}$ ;
$\overline{z^{n}}$ $=\left(\overline z\right)^{n}$ et, si $z'\neq0$, $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}$ $=\dfrac{\overline z}{\overline{z'}}$ ;
$z+\overline z=2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z-\overline z=2i\,\mathrm{Im}(z)$ : attention au $i$ dans la seconde formule ;
$z\overline z=a^{2}+b^{2}$ : c'est un réel positif ;
$z$ est réel $\iff\overline z=z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff\overline z=-z$.

Méthode pour une équation avec $z$ et $\overline z$. On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels. Alors $\overline z=x-iy$, puis on identifie les parties réelles et les parties imaginaires.

✏️ EXEMPLE

1) Pour $z=2+3i$, calculer $z+\overline z$, $z-\overline z$ et $z\overline z$. 2) Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $2z+\overline z=3-4i$.
Solution. 1) $\overline z=2-3i$, donc $z+\overline z=4$, $z-\overline z=6i$ et $z\overline z=2^{2}+3^{2}=13$.
2) On pose $z=x+iy$. Alors $2z+\overline z=2x+2iy+x-iy=3x+iy$. L'équation s'écrit $3x+iy=3-4i$, donc $3x=3$ et $y=-4$, soit $x=1$ et $y=-4$. $S=\{1-4i\}$.
Vérification : $2(1-4i)+(1+4i)=2-8i+1+4i=3-4i$.

✋ À TOI

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z-2\overline z=1+6i$.

Voir la réponse

Réponse. Avec $z=x+iy$ : $x+iy-2(x-iy)=-x+3iy$. Donc $-x=1$ et $3y=6$, soit $x=-1$ et $y=2$. $S=\{-1+2i\}$.

🛠4. Inverse et quotientمقلوب عدد عقدي وخارج عددين عقديين

🛠 MÉTHODE

Si $z=a+ib\neq0$, alors $z\overline z=a^{2}+b^{2}$ est un réel non nul. D'où l'inverse :

$\dfrac1z$ $=\dfrac{\overline z}{z\overline z}$ $=\dfrac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}$.

Méthode. Pour écrire un quotient $\dfrac{z}{z'}$ sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient un réel.

✏️ EXEMPLE

Écrire sous forme algébrique : 1) $\dfrac1{3-i}$ ; 2) $\dfrac{1+2i}{3-i}$ ; 3) $\dfrac1i$ ; 4) $\dfrac{1+i}{1-i}$.
Solution. 1) $\dfrac1{3-i}$ $=\dfrac{3+i}{(3-i)(3+i)}$ $=\dfrac{3+i}{9+1}$ $=\dfrac3{10}+\dfrac1{10}i$.
2) $\dfrac{1+2i}{3-i}$ $=\dfrac{(1+2i)(3+i)}{10}$ $=\dfrac{3+i+6i+2i^{2}}{10}$ $=\dfrac{1+7i}{10}$ $=\dfrac1{10}+\dfrac7{10}i$.
3) $\dfrac1i$ $=\dfrac{-i}{i\times(-i)}$ $=\dfrac{-i}{1}$ $=-i$.
4) $\dfrac{1+i}{1-i}$ $=\dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}$ $=\dfrac{2i}{2}$ $=i$.

✋ À TOI

Écrire $\dfrac{2-i}{1+i}$ sous forme algébrique.

Voir la réponse

Réponse. $\dfrac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ $=\dfrac{2-2i-i+i^{2}}{2}$ $=\dfrac{1-3i}{2}$ $=\dfrac12-\dfrac32i$.

📘5. Représentation géométrique : affixe d'un point et d'un vecteurالتمثيل الهندسي لعدد عقدي

📘 DÉFINITIONS

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$. On l'appelle le plan complexe.

À tout nombre $z=a+ib$ on associe le point $M(a\,;b)$, appelé image de $z$. On dit que $z$ est l'affixe de $M$ et on note $M(z)$.
De même, le vecteur $\vec w(a\,;b)$ a pour affixe $a+ib$.
Les réels sont sur l'axe des abscisses (axe réel), et les imaginaires purs sur l'axe des ordonnées (axe imaginaire).

Propriétés. Pour des points $A(z_{A})$, $B(z_{B})$, $C(z_{C})$ et $D(z_{D})$ :

le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{B}-z_{A}$ (l'arrivée moins le départ) ;
le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}$ ;
$ABCD$ est un parallélogramme $\iff\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{DC}$, soit $z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}$ ;
les images de $z$ et de $\overline z$ sont symétriques par rapport à l'axe réel ; celles de $z$ et de $-z$ sont symétriques par rapport à $O$.

✏️ EXEMPLE

On donne $A(1+2i)$, $B(3-i)$ et $C(4+i)$. 1) Calculer l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ et celle du milieu $I$ de $[AB]$. 2) Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Solution. 1) $z_{\overrightarrow{AB}}$ $=z_{B}-z_{A}$ $=(3-i)-(1+2i)$ $=2-3i$, et $z_{I}$ $=\dfrac{(1+2i)+(3-i)}{2}$ $=\dfrac{4+i}{2}$ $=2+\dfrac12i$.
2) $ABCD$ est un parallélogramme $\iff z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}$ $\iff z_{D}=z_{A}+z_{C}-z_{B}$. Donc $z_{D}=(1+2i)+(4+i)-(3-i)=2+4i$.
Vérification : $z_{C}-z_{D}$ $=(4+i)-(2+4i)$ $=2-3i$ $=z_{B}-z_{A}$.

✋ À TOI

On donne $A(-1+i)$ et $B(3+5i)$. Calculer l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ et celle du milieu de $[AB]$.

Voir la réponse

Réponse. $z_{B}-z_{A}=4+4i$ et $\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}$ $=\dfrac{2+6i}{2}$ $=1+3i$.

📐6. Module et distancesمعيار عدد عقدي والمسافة

📐 PROPRIÉTÉS

Définition. Le module de $z=a+ib$ est le réel positif $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z|=OM$. On a aussi $|z|^{2}=z\overline z$.

Distance. Pour deux points $A(z_{A})$ et $B(z_{B})$ : $AB=|z_{B}-z_{A}|$.

Propriétés. Pour tous $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ :

$|zz'|=|z|\times|z'|$, $|z^{n}|=|z|^{n}$ et, si $z'\neq0$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ $=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ;
$|\overline z|=|z|$ et $|-z|=|z|$ ;
pour une somme, on a seulement $|z+z'|\leq|z|+|z'|$ : en général, $|z+z'|\neq|z|+|z'|$.

Ensembles de points. Soit $A(a)$ et $B(b)$ deux points distincts, et $r\gt 0$.

L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-a|=r$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$, car $|z-a|=AM$.
L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-a|=|z-b|$ est la médiatrice de $[AB]$, car $AM=BM$.

✏️ EXEMPLE

1) Calculer $|3+4i|$, $\left|(1+i)^{6}\right|$ et $\left|\dfrac{3+4i}{1-i}\right|$. 2) Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-2+i|=3$.
Solution. 1) $|3+4i|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$ (et non $3+4=7$).
$|1+i|=\sqrt2$, donc $\left|(1+i)^{6}\right|$ $=\left(\sqrt2\right)^{6}$ $=8$. Et $\left|\dfrac{3+4i}{1-i}\right|$ $=\dfrac{5}{\sqrt2}$ $=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.
2) $|z-2+i|=|z-(2-i)|$. Avec $\Omega(2-i)$, on a $|z-2+i|=\Omega M$. L'ensemble cherché est donc le cercle de centre $\Omega(2-i)$ et de rayon $3$.

✋ À TOI

On donne $A(1+i)$, $B(3+2i)$ et $C(2+3i)$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Voir la réponse

Réponse. $AB=|2+i|=\sqrt5$, $AC=|1+2i|=\sqrt5$ et $BC=|-1+i|=\sqrt2$. Comme $AB=AC$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

📘7. Argument d'un nombre complexe non nulعمدة عدد عقدي غير منعدم

📘 DÉFINITIONS

Définition. Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure de l'angle orienté $\left(\vec u,\overrightarrow{OM}\right)$. On note $\arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]$, car un argument est défini à un multiple de $2\pi$ près. Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

Cas à connaître. Pour $k\gt 0$ : $\arg(k)\equiv0$ ; $\arg(-k)\equiv\pi$ ; $\arg(ki)\equiv\dfrac\pi2$ ; $\arg(-ki)\equiv-\dfrac\pi2\ [2\pi]$.

Propriétés. Pour $z$ et $z'$ non nuls, et $n$ entier naturel (toutes les égalités sont modulo $2\pi$) :

$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')$ et $\arg\left(z^{n}\right)\equiv n\arg(z)$ ;
$\arg\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg(z)$ et $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')$ ;
$\arg\left(\overline z\right)\equiv-\arg(z)$ et $\arg(-z)\equiv\pi+\arg(z)$.

Ces règles valent pour le produit et le quotient, pas pour la somme.

Angle d'un vecteur. Pour $A\neq B$ : $\left(\vec u,\overrightarrow{AB}\right)\equiv\arg(z_{B}-z_{A})\ [2\pi]$.

✏️ EXEMPLE

1) Donner un argument de $3$, $-2$, $5i$ et $1+i$. 2) En déduire un argument de $(1+i)^{5}$ et de $-1-i$.
Solution. 1) $\arg(3)\equiv0$, $\arg(-2)\equiv\pi$ et $\arg(5i)\equiv\dfrac\pi2$. Le point d'affixe $1+i$ est $M(1\,;1)$, sur la bissectrice du premier quadrant : $\arg(1+i)\equiv\dfrac\pi4\ [2\pi]$.
2) $\arg\left((1+i)^{5}\right)\equiv5\times\dfrac\pi4$ $=\dfrac{5\pi}4\ [2\pi]$.
$-1-i=-(1+i)$, donc $\arg(-1-i)\equiv\pi+\dfrac\pi4$ $=\dfrac{5\pi}4\equiv-\dfrac{3\pi}4\ [2\pi]$. Le point $(-1\,;-1)$ est bien dans le troisième quadrant : ce n'est pas $\dfrac\pi4$.

✋ À TOI

Donner un argument de $-3i$, puis de $\dfrac{1+i}{i}$.

Voir la réponse

Réponse. $\arg(-3i)\equiv-\dfrac\pi2\ [2\pi]$. Et $\arg\left(\dfrac{1+i}{i}\right)\equiv\dfrac\pi4-\dfrac\pi2$ $=-\dfrac\pi4\ [2\pi]$. On le vérifie : $\dfrac{1+i}{i}=1-i$.

🛠8. Forme trigonométriqueالكتابة المثلثية لعدد عقدي غير منعدم

🛠 MÉTHODE

Propriété. Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, avec $r=|z|\gt 0$ et $\theta\equiv\arg(z)\ [2\pi]$. C'est une forme trigonométrique de $z$, notée $z=[r\,;\theta]$.

Passer de $a+ib$ à $[r\,;\theta]$.

Calculer $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
Écrire $\cos\theta=\dfrac ar$ et $\sin\theta=\dfrac br$.
Reconnaître $\theta$ sur le cercle trigonométrique, en regardant les deux signes.

Passer de $[r\,;\theta]$ à $a+ib$ : $a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$.

Calculs. $[r\,;\theta]\times[r'\,;\theta']$ $=[rr'\,;\theta+\theta']$, $\dfrac{[r\,;\theta]}{[r'\,;\theta']}$ $=\left[\dfrac r{r'}\,;\theta-\theta'\right]$ et $[r\,;\theta]^{n}=[r^{n}\,;n\theta]$.

Pièges. Le module doit être positif, et c'est « $\cos+i\sin$ » avec le même angle :

$-2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$ $=\left[2\,;\dfrac{5\pi}4\right]$ ;
$\cos\theta-i\sin\theta=[1\,;-\theta]$ et $-\cos\theta+i\sin\theta=[1\,;\pi-\theta]$.

✏️ EXEMPLE

1) Écrire $z=1+i\sqrt3$ et $z'=1+i$ sous forme trigonométrique. 2) Écrire $\dfrac z{z'}$ sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique. En déduire $\cos\dfrac\pi{12}$ et $\sin\dfrac\pi{12}$.
Solution. 1) $|z|=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=\dfrac12$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2$, donc $\theta\equiv\dfrac\pi3$ : $z=\left[2\,;\dfrac\pi3\right]$. De même, $|z'|=\sqrt2$, $\cos\theta'=\sin\theta'=\dfrac{\sqrt2}2$, donc $z'=\left[\sqrt2\,;\dfrac\pi4\right]$.
2) $\dfrac z{z'}$ $=\left[\dfrac2{\sqrt2}\,;\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\right]$ $=\left[\sqrt2\,;\dfrac\pi{12}\right]$.
Sous forme algébrique : $\dfrac{1+i\sqrt3}{1+i}$ $=\dfrac{(1+i\sqrt3)(1-i)}{2}$ $=\dfrac{1+\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3-1}{2}i$.
On identifie les deux écritures : $\sqrt2\cos\dfrac\pi{12}$ $=\dfrac{1+\sqrt3}{2}$ et $\sqrt2\sin\dfrac\pi{12}$ $=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$. Donc $\cos\dfrac\pi{12}$ $=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ et $\sin\dfrac\pi{12}$ $=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.

✋ À TOI

Écrire $-2+2i$ sous forme trigonométrique, puis $4\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)$ sous forme algébrique.

Voir la réponse

Réponse. $|-2+2i|=\sqrt8=2\sqrt2$, $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}2$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}2$, donc $-2+2i$ $=\left[2\sqrt2\,;\dfrac{3\pi}4\right]$. Et $4\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)$ $=4\times\dfrac{\sqrt3}2+4\times\dfrac12i$ $=2\sqrt3+2i$.

🛠Carte : quelle méthode pour quelle question ?خريطة: أي طريقة لأي سؤال؟

🛠 MÉTHODE

On me demande…	Je pense à…	Je conclus avec…
la forme algébrique d'un quotient	le conjugué du dénominateur	un dénominateur réel, puis $a+ib$
$z$ réel, ou $z$ imaginaire pur	$\mathrm{Im}(z)$, ou $\mathrm{Re}(z)$	$\mathrm{Im}(z)=0$, ou $\mathrm{Re}(z)=0$
une équation avec $z$ et $\overline z$	poser $z=x+iy$	identifier les parties réelles et imaginaires
$i^{n}$	le reste de $n$ dans la division par 4	$1$, $i$, $-1$ ou $-i$
une distance $AB$	le module	$AB=\|z_{B}-z_{A}\|$
l'ensemble des $M(z)$ tels que $\|z-a\|=r$, ou $\|z-a\|=\|z-b\|$	$\|z-a\|=AM$	un cercle, ou une médiatrice
un argument, ou une forme trigonométrique	$r=\|z\|$, $\cos\theta=\dfrac ar$, $\sin\theta=\dfrac br$	$[r\,;\theta]$ avec $r\gt 0$, en regardant les deux signes
un produit, un quotient ou une puissance	la forme trigonométrique	multiplier les modules, ajouter les arguments

Dans tous les cas : $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ sont des réels, un module est positif, et un argument est donné modulo $2\pi$.

📘9. Notation exponentielleالكتابة الأسية لعدد عقدي غير منعدم

📘 DÉFINITIONS

Notation. Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. C'est le nombre de module $1$ et d'argument $\theta$ : $|e^{i\theta}|=1$.

Tout nombre complexe non nul $z=[r\,;\theta]$ s'écrit donc $z=re^{i\theta}$, avec $r=|z|\gt 0$. C'est sa forme exponentielle.

Règles de calcul. Ce sont celles des puissances : pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, et tout entier $n$ :

$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}$ $=e^{i(\theta+\theta')}$ et $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$ $=e^{i(\theta-\theta')}$ ;
$\left(e^{i\theta}\right)^{n}$ $=e^{in\theta}$, $\dfrac1{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ et $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$.

Valeurs à connaître. $e^{i0}=1$, $e^{i\pi/2}=i$, $e^{i\pi}=-1$, $e^{-i\pi/2}=-i$ et $e^{2i\pi}=1$.

⚠️ ATTENTION

Attention. Dans $re^{i\theta}$, le module $r$ doit être positif : $-2e^{i\theta}=2e^{i(\theta+\pi)}$.

✏️ EXEMPLE

1) Écrire $z=1+i\sqrt3$ sous forme exponentielle, puis calculer $z^{6}$. 2) Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $(1+i)^{n}$ est-il réel ?
Solution. 1) On a vu que $z=\left[2\,;\dfrac\pi3\right]$, donc $z=2e^{i\pi/3}$. Alors $z^{6}=2^{6}e^{6i\pi/3}=64e^{2i\pi}=64$.
2) $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, donc $(1+i)^{n}$ $=\left(\sqrt2\right)^{n}e^{in\pi/4}$. Ce nombre est réel quand son argument est un multiple de $\pi$ : $\dfrac{n\pi}4=k\pi$, soit $n=4k$. Donc $(1+i)^{n}$ est réel si et seulement si $n$ est un multiple de $4$.

✋ À TOI

Écrire $-3i$ et $-2$ sous forme exponentielle, puis calculer $(1-i)^{8}$.

Voir la réponse

Réponse. $-3i=3e^{-i\pi/2}$ et $-2=2e^{i\pi}$. Puis $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$, donc $(1-i)^{8}$ $=\left(\sqrt2\right)^{8}e^{-2i\pi}$ $=16$.

📐10. Formules de Moivre et d'Eulerصيغتا موافر وأولير

📐 PROPRIÉTÉS

Formule de Moivre. Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ : $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}$ $=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$. C'est la règle $\left(e^{i\theta}\right)^{n}$ $=e^{in\theta}$ écrite avec $\cos$ et $\sin$.

Formules d'Euler. Comme $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$, on obtient en ajoutant puis en soustrayant :

$\cos\theta$ $=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta$ $=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Angle moitié. On met $e^{i\theta/2}$ en facteur : $1+e^{i\theta}$ $=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)$ $=2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\theta/2}$.

✏️ EXEMPLE

1) Avec la formule de Moivre pour $n=2$, retrouver $\cos2\theta$ et $\sin2\theta$. 2) Écrire $1+e^{i\pi/3}$ sous forme exponentielle.
Solution. 1) $(\cos\theta+i\sin\theta)^{2}$ $=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta+2i\sin\theta\cos\theta$. Par Moivre, c'est aussi $\cos2\theta+i\sin2\theta$. On identifie les parties réelles et imaginaires : $\cos2\theta$ $=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ et $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$. Avec $n=3$, on obtient de la même façon $\cos3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$.
2) Avec $\theta=\dfrac\pi3$ : $1+e^{i\pi/3}$ $=2\cos\dfrac\pi6\,e^{i\pi/6}$ $=\sqrt3\,e^{i\pi/6}$. Le module est $\sqrt3\gt 0$, donc c'est bien une forme exponentielle.
Vérification : $1+e^{i\pi/3}=\dfrac32+\dfrac{\sqrt3}2i$ et $\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)$ $=\dfrac32+\dfrac{\sqrt3}2i$.

✋ À TOI

À l'aide d'une formule d'Euler, montrer que $e^{i\theta}+e^{-i\theta}$ est un réel, puis calculer $e^{i\pi/4}+e^{-i\pi/4}$.

Voir la réponse

Réponse. $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ : c'est un réel. Donc $e^{i\pi/4}+e^{-i\pi/4}$ $=2\cos\dfrac\pi4$ $=\sqrt2$.

🛠11. Linéariser avec les formules d'Eulerإخطاط حدوديات مثلثية

🛠 MÉTHODE

Linéariser, c'est écrire une puissance comme $\cos^{3}x$ ou $\sin^{2}x$ sous la forme d'une somme de termes $\cos(kx)$ et $\sin(kx)$, sans puissance. On en a besoin pour trouver des primitives (chapitre 4) et calculer des intégrales (chapitre 8).

Méthode.

Remplacer $\cos x$ et $\sin x$ par les formules d'Euler.
Développer (identités remarquables, binôme : $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$).
Regrouper les termes deux par deux : $e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos(kx)$ et $e^{ikx}-e^{-ikx}=2i\sin(kx)$.

Résultats à connaître. $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ et $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$.

✏️ EXEMPLE

Linéariser $\cos^{3}x$, puis en déduire une primitive de $x\mapsto\cos^{3}x$ sur $\mathbb R$.
Solution. $\cos^{3}x$ $=\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{3}$ $=\dfrac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{8}$, car $e^{2ix}\times e^{-ix}=e^{ix}$.
On regroupe : $\cos^{3}x$ $=\dfrac{\left(e^{3ix}+e^{-3ix}\right)+3\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)}{8}$ $=\dfrac{2\cos3x+6\cos x}{8}$.
Donc $\cos^{3}x=\dfrac14\cos3x+\dfrac34\cos x$.
Une primitive est $F(x)=\dfrac1{12}\sin3x+\dfrac34\sin x$, car la dérivée de $\sin3x$ est $3\cos3x$.

✋ À TOI

Linéariser $\sin^{2}x$ à l'aide d'une formule d'Euler.

Voir la réponse

Réponse. $\sin^{2}x$ $=\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}$ $=\dfrac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}$ $=\dfrac{2\cos2x-2}{-4}$ $=\dfrac{1-\cos2x}{2}$.

🛠12. Équations du second degré dans ℂالمعادلات من الدرجة الثانية في ℂ

🛠 MÉTHODE

Équation $z^{2}=a$, avec $a$ réel. Si $a\gt 0$ : $z=\sqrt a$ ou $z=-\sqrt a$. Si $a=0$ : $z=0$. Si $a\lt 0$ : $z=i\sqrt{-a}$ ou $z=-i\sqrt{-a}$.

Équation $az^{2}+bz+c=0$, avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\neq0$. On calcule $\Delta=b^{2}-4ac$ :

si $\Delta\gt 0$ : deux solutions réelles $\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ ;
si $\Delta=0$ : une solution réelle $-\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta\lt 0$ : deux solutions complexes conjuguées $\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Dans $\mathbb C$, l'équation a donc toujours des solutions. On n'écrit jamais $\sqrt\Delta$ quand $\Delta\lt 0$.

Somme et produit. Les solutions $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifient $z_{1}+z_{2}=-\dfrac ba$ et $z_{1}z_{2}=\dfrac ca$.

Degré 3. Si l'on connaît une solution $\alpha$ d'une équation de degré 3, on factorise par $(z-\alpha)$, puis on résout l'équation du second degré qui reste.

✏️ EXEMPLE

Résoudre dans $\mathbb C$ : 1) $z^{2}=-9$ ; 2) $z^{2}-6z+13=0$ ; 3) $z^{3}-5z^{2}+9z-5=0$, en remarquant que $1$ est solution.
Solution. 1) $-9\lt 0$ : $z=3i$ ou $z=-3i$. $S=\{-3i\,;3i\}$.
2) $\Delta=36-52=-16\lt 0$ et $\sqrt{-\Delta}=4$. Donc $z=\dfrac{6-4i}{2}=3-2i$ ou $z=3+2i$. $S=\{3-2i\,;3+2i\}$.
Contrôle : la somme vaut $6=-\dfrac{-6}{1}$ et le produit vaut $9+4=13$.
3) $1-5+9-5=0$, donc $1$ est solution. On vérifie en développant que $z^{3}-5z^{2}+9z-5=(z-1)(z^{2}-4z+5)$.
Pour $z^{2}-4z+5=0$ : $\Delta=16-20=-4$, donc $z=2-i$ ou $z=2+i$. $S=\{1\,;2-i\,;2+i\}$.

✋ À TOI

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^{2}+z+1=0$.

Voir la réponse

Réponse. $\Delta=1-4=-3\lt 0$ et $\sqrt{-\Delta}=\sqrt3$. Donc $S$ $=\left\{\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}\,;\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}\right\}$.

📐13. Angles, alignement et orthogonalitéالزوايا والاستقامية والتعامد

📐 PROPRIÉTÉS

Angle orienté. Pour des points $A$, $B$, $C$ distincts : $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)\ [2\pi]$. Le point d'arrivée du second vecteur est au numérateur.

Plus généralement, pour $A\neq B$ et $C\neq D$ : $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}\right)\ [2\pi]$.

Conséquences.

$A$, $B$, $C$ (distincts) sont alignés $\iff\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ est un réel ;
$(AB)\parallel(CD)$ $\iff\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}$ est un réel ;
$(AB)\perp(CD)$ $\iff\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}$ est un imaginaire pur.

✏️ EXEMPLE

1) Les points $A(1+i)$, $B(3+2i)$ et $C(5+3i)$ sont-ils alignés ? 2) On donne $A(1)$, $B(2+i)$ et $C(i)$. Calculer $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ et en déduire une mesure de $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.
Solution. 1) $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ $=\dfrac{4+2i}{2+i}$ $=\dfrac{2(2+i)}{2+i}$ $=2$. C'est un réel, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
2) $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ $=\dfrac{-1+i}{1+i}$ $=\dfrac{(-1+i)(1-i)}{2}$ $=\dfrac{-1+i+i-i^{2}}{2}$ $=\dfrac{2i}2$ $=i$.
Donc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac\pi2\ [2\pi]$ : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

✋ À TOI

Les points $A(2)$, $B(3+i)$ et $C(4+2i)$ sont-ils alignés ?

Voir la réponse

Réponse. $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ $=\dfrac{2+2i}{1+i}$ $=2$ : c'est un réel, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

🛠14. Nature d'un triangle ou d'un quadrilatèreطبيعة مثلث أو رباعي

🛠 MÉTHODE

Méthode : un seul quotient. Pour un triangle $ABC$, on calcule $q=\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$. On a $|q|=\dfrac{AC}{AB}$ et $\arg(q)\equiv\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\ [2\pi]$.

Si…	alors le triangle est…
$\|q\|=1$	isocèle en $A$ ($AB=AC$)
$q$ imaginaire pur	rectangle en $A$
$q=i$ ou $q=-i$	rectangle et isocèle en $A$
$q=e^{i\pi/3}$ ou $q=e^{-i\pi/3}$	équilatéral

Attention : $|q|=1$ seul ne suffit pas pour « équilatéral ». Il faut aussi $\arg(q)\equiv\pm\dfrac\pi3$.

Quadrilatères. $ABCD$ est un parallélogramme si $z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}$. C'est un rectangle s'il a en plus un angle droit, un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur, et un carré s'il a les deux.

Cercle circonscrit. Son centre $\Omega$ vérifie $\Omega A=\Omega B=\Omega C$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer la nature du triangle $ABC$ : 1) $A(1)$, $B(2+i)$, $C(i)$ ; 2) $A(1)$, $B(3)$, $C\left(2+i\sqrt3\right)$.
Solution. 1) On a calculé à la partie 13 que $q=i$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$.
2) $q$ $=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}$ $=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i$ $=e^{i\pi/3}$. Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.

✋ À TOI

On donne $A(0)$, $B(3+4i)$ et $C(5)$. Calculer $q=\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Voir la réponse

Réponse. $q$ $=\dfrac5{3+4i}$ $=\dfrac{5(3-4i)}{25}$ $=\dfrac35-\dfrac45i$. Donc $|q|=\sqrt{\dfrac9{25}+\dfrac{16}{25}}=1$ : le triangle est isocèle en $A$. Il n'est pas rectangle, car $q$ n'est pas imaginaire pur. Il n'est pas équilatéral non plus, car $q\neq e^{\pm i\pi/3}$ ($\mathrm{Re}(q)=\dfrac35\neq\dfrac12$).

📐15. Translation et homothétieالإزاحة والتحاكي

📐 PROPRIÉTÉS

Une transformation associe à tout point $M(z)$ un point $M'(z')$. Son écriture complexe donne $z'$ en fonction de $z$.

Translation de vecteur $\vec w$ d'affixe $b$ : $\overrightarrow{MM'}=\vec w$, donc $z'=z+b$.
Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ (réel non nul) : $\overrightarrow{\Omega M'}$ $=k\,\overrightarrow{\Omega M}$, donc $z'-\omega=k(z-\omega)$.

Reconnaître $z'=az+b$, avec $a$ réel non nul.

Si $a=1$ : c'est la translation de vecteur d'affixe $b$.
Si $a\neq1$ : c'est l'homothétie de rapport $a$ et de centre le point fixe $\Omega(\omega)$. On trouve $\omega$ en résolvant $\omega=a\omega+b$, soit $\omega=\dfrac{b}{1-a}$.

✏️ EXEMPLE

1) Donner l'écriture complexe de l'homothétie $h$ de centre $\Omega(1)$ et de rapport $-2$, puis l'affixe de l'image de $A(i)$. 2) Reconnaître la transformation $z'=2z-1+i$.
Solution. 1) $z'-1=-2(z-1)$, soit $z'=-2z+3$. L'image de $A$ a pour affixe $-2i+3=3-2i$.
2) $a=2$ est un réel différent de $1$ : c'est une homothétie de rapport $2$. Son centre vérifie $\omega=2\omega-1+i$, soit $\omega=1-i$.
Vérification : $2(1-i)-1+i=1-i$, donc $\Omega(1-i)$ est bien fixe.

✋ À TOI

Reconnaître la transformation $z'=-3z+4$.

Voir la réponse

Réponse. $a=-3$ est un réel différent de $1$ : c'est l'homothétie de rapport $-3$ et de centre $\Omega(\omega)$ avec $\omega=\dfrac{4}{1-(-3)}=1$.

📐16. Rotationالدوران

📐 PROPRIÉTÉS

Écriture complexe. La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\Omega M'=\Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv\theta\ [2\pi]$. Son écriture complexe est :

$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$, soit $z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$.

Si le centre est $O$ : $z'=e^{i\theta}z$. Par exemple, multiplier par $i=e^{i\pi/2}$, c'est tourner d'un quart de tour autour de $O$.

Reconnaître $z'=az+b$, avec $|a|=1$ et $a\neq1$. C'est la rotation d'angle $\arg(a)$ et de centre $\Omega(\omega)$, avec $\omega=\dfrac{b}{1-a}$.

Une rotation conserve les distances. Si $M'$ est l'image de $M$, alors $\Omega M=\Omega M'$ : le triangle $\Omega MM'$ est isocèle en $\Omega$. Il est équilatéral si l'angle vaut $\pm\dfrac\pi3$.

✏️ EXEMPLE

1) Déterminer l'image de $A(3+i)$ par la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\dfrac\pi2$. 2) Reconnaître la transformation $z'=iz+2$.
Solution. 1) $z'$ $=(1+i)+i\big((3+i)-(1+i)\big)$ $=1+i+2i$ $=1+3i$.
2) $|i|=1$ et $i\neq1$ : c'est une rotation d'angle $\arg(i)\equiv\dfrac\pi2$. Son centre a pour affixe $\omega$ $=\dfrac2{1-i}$ $=\dfrac{2(1+i)}{2}$ $=1+i$.

✋ À TOI

Donner l'écriture complexe de la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac\pi3$, puis l'affixe de l'image de $B(2)$.

Voir la réponse

Réponse. $z'=e^{i\pi/3}z$. L'image de $B$ a pour affixe $2e^{i\pi/3}$ $=2\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)$ $=1+i\sqrt3$.

🛠Carte : géométrie avec les complexesخريطة: الهندسة بالأعداد العقدية

🛠 MÉTHODE

On me demande…	Je calcule…	Je conclus avec…
une puissance $z^{n}$, ou si $z^{n}$ est réel	la forme exponentielle $re^{i\theta}$	$r^{n}e^{in\theta}$ ; réel si $n\theta\equiv0\ [\pi]$
linéariser $\cos^{n}x$ ou $\sin^{n}x$	les formules d'Euler, puis je développe	$e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos kx$
résoudre $az^{2}+bz+c=0$	$\Delta$	si $\Delta\lt 0$ : $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
$A$, $B$, $C$ alignés ?	$\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$	alignés si ce quotient est réel
des droites perpendiculaires ?	$\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}$	perpendiculaires s'il est imaginaire pur
la nature du triangle $ABC$	$q=\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$	$\|q\|=1$ : isocèle ; $q=\pm i$ : rectangle isocèle ; $q=e^{\pm i\pi/3}$ : équilatéral
reconnaître $z'=az+b$	$a$ et $\omega=\dfrac{b}{1-a}$	$a=1$ : translation ; $a$ réel : homothétie ; $\|a\|=1$ : rotation d'angle $\arg(a)$
l'image d'un point par une rotation	$z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$	sans oublier le $+\omega$

⬇️ Télécharger le cours en PDF 📄 Résumé du cours (PDF)

💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه

📐

Formules & règles à retenir

القوانين والقواعد الواجب تذكّرها

Forme algébrique

$i^{2}=-1$. Tout complexe s'écrit de façon unique $z=a+ib$ ($a$, $b$ réels) : $\mathrm{Re}(z)=a$ et $\mathrm{Im}(z)=b$ sont des réels. $z$ réel $\iff b=0$ ; $z$ imaginaire pur $\iff a=0$

Puissances de i

$i^{2}=-1$ ; $i^{3}=-i$ ; $i^{4}=1$ : $i^{n}$ dépend du reste de $n$ dans la division par $4$. Exemple : $i^{10}=i^{8}\times i^{2}=-1$

Conjugué

$\overline{z}=a-ib$ ; $z+\overline{z}=2\,\mathrm{Re}(z)$ ; $z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$ ; $z\overline{z}=a^{2}+b^{2}$. Le conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance est la somme, le produit, le quotient ou la puissance des conjugués. $z$ réel $\iff\overline{z}=z$

Inverse et quotient

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\dfrac1{3-i}=\dfrac{3+i}{10}$

Module et distances

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=OM$ ; $AB=|z_B-z_A|$ ; $|zz'|=|z|\,|z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ $=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^{n}|=|z|^{n}$ ; seulement $|z+z'|\leq|z|+|z'|$

Affixes et ensembles de points

$\mathrm{aff}(\overrightarrow{AB})$ $=z_B-z_A$ ; milieu de $[AB]$ : $\dfrac{z_A+z_B}2$. $|z-z_A|=r$ : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice de $[AB]$

Argument

Pour $z$ non nul : $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\ [2\pi]$ ; $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'\ [2\pi]$ ; $\arg(z^{n})\equiv n\arg z\ [2\pi]$ ; $\arg\overline{z}\equiv-\arg z$ ; $\arg(-z)\equiv\pi+\arg z$ ; $(\vec u,\overrightarrow{AB})\equiv\arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$

Formes trigonométrique et exponentielle

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ avec $r=|z|\gt 0$, $\cos\theta=\dfrac ar$ et $\sin\theta=\dfrac br$ ; $e^{i\theta}e^{i\theta'}$ $=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $\left(e^{i\theta}\right)^{n}$ $=e^{in\theta}$ ; $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ ; $e^{i\pi}=-1$ ; $e^{i\pi/2}=i$

Moivre, Euler et linéarisation

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}$ $=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ ; $\cos\theta$ $=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ ; $\sin\theta$ $=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ ; $1+e^{i\theta}$ $=2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\theta/2}$ ; $\cos^{3}x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}4$

Équation du second degré

$az^{2}+bz+c=0$ ($a$, $b$, $c$ réels, $a$ non nul). Si $\Delta\lt 0$ : deux solutions conjuguées $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Si $a\lt 0$ : $z^{2}=a\iff z=\pm i\sqrt{-a}$

Angles et nature d'un triangle

$q=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\arg q\ [2\pi]$. $q$ réel : $A$, $B$, $C$ alignés ; $q$ imaginaire pur : $(AB)\perp(AC)$ ; $|q|=1$ : isocèle en $A$ ; $q=\pm i$ : rectangle isocèle en $A$ ; $q=e^{\pm i\pi/3}$ : équilatéral

Translation, homothétie, rotation

Translation : $z'=z+b$ ; homothétie : $z'-\omega=k(z-\omega)$ ; rotation : $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$. Pour $z'=az+b$ : $a=1$ translation ; $a$ réel autre que $1$ : homothétie de rapport $a$ ; $|a|=1$ et $a$ autre que $1$ : rotation d'angle $\arg a$. Centre : $\omega=\dfrac{b}{1-a}$

Méthode : quelle forme choisir ?

Somme, différence, partie réelle : forme algébrique. Produit, quotient, puissance : forme exponentielle. Pour un argument : regarder les signes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ (le quadrant), pas seulement $\tan\theta$

⚠️

Attention aux erreurs

انتبه للأخطاء

Oublier $i^{2}=-1$ : $(2+3i)(1-i)=-1+i$.$(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^{2}$ $=2+i+3=5+i$.

Écrire $z-\overline{z}=2\,\mathrm{Im}(z)$.$z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$. C'est $z+\overline{z}=2\,\mathrm{Re}(z)$ qui n'a pas de $i$.

Écrire $|3+4i|=3+4=7$.$|3+4i|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ : on utilise la partie imaginaire $4$, un réel, sans le $i$.

Donner $\arg(-1-i)=\dfrac\pi4$ parce que $\tan\theta=1$.$\cos\theta\lt 0$ et $\sin\theta\lt 0$ : on est dans le 3^e quadrant, donc $\arg(-1-i)\equiv-\dfrac{3\pi}4\ [2\pi]$.

Lire $-2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$ comme une forme trigonométrique de module $-2$.Un module est positif : $-2e^{i\pi/4}$ $=2e^{i\pi}e^{i\pi/4}$ $=2e^{i5\pi/4}$.

Conclure « pas de solution » quand $\Delta\lt 0$.Dans $\mathbb C$, il y a deux solutions conjuguées $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. On n'écrit jamais $\sqrt\Delta$ avec $\Delta\lt 0$.

Inverser le quotient : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\arg\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}$.Le vecteur d'arrivée est au numérateur : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\ [2\pi]$.

Écrire la rotation $z'=e^{i\theta}(z-\omega)$ (oubli du $+\,\omega$).$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$, donc $z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$. Vérification : le centre $\Omega$ est sa propre image.

✅

Quiz de compréhension

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Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]

[Réponse A]

[Réponse B — correcte]

[Réponse C]

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Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية

🔵 Application تطبيق · 8

🟡 Médium متوسط · 7 🎁

🟠 Avancé متقدّم · 5 🔒

Exercice 1

🔵 Application · Libre

Écrire sous forme algébrique : 1) $z_1=(2+3i)(1-i)$ ; 2) $z_2=(1+2i)^{2}$ ; 3) $z_3=\dfrac{3+i}{1-i}$ ; 4) $z_4=i^{2026}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : on développe en remplaçant $i^{2}$ par $-1$ ; pour un quotient, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.

1) $z_1=2-2i+3i-3i^{2}=2+i+3=5+i$.

2) $z_2=1+4i+4i^{2}=1+4i-4=-3+4i$.

3) $z_3$ $=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ $=\dfrac{3+3i+i-1}{2}$ $=\dfrac{2+4i}{2}$ $=1+2i$.

4) $2026=4\times506+2$, donc $i^{2026}$ $=\left(i^{4}\right)^{506}\times i^{2}$ $=1\times(-1)$ $=-1$.

Conclusion : $z_1=5+i$, $z_2=-3+4i$, $z_3=1+2i$ et $z_4=-1$.

Exercice 2

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb C$ : 1) $2z+\overline z=3-i$ ; 2) $(1+i)\,\overline z=3-i$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Idée : l'équation contient $z$ et $\overline z$ : on pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

$2(x+iy)+(x-iy)=3x+iy$. On identifie : $3x+iy=3-i$ donne $3x=3$ et $y=-1$, soit $x=1$ et $y=-1$.

2) Ici, seul $\overline z$ apparaît : on l'isole. $\overline z$ $=\dfrac{3-i}{1+i}$ $=\dfrac{(3-i)(1-i)}{2}$ $=\dfrac{3-3i-i-1}{2}$ $=1-2i$.

Donc $z=\overline{1-2i}=1+2i$.

Conclusion : 1) $S=\{1-i\}$ ; 2) $S=\{1+2i\}$.

Exercice 3

🔵 Application · Libre

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes $a=3+2i$, $b=4+3i$ et $c=5+i$.
1) Donner l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et celle du milieu $I$ de $[AB]$.
2) Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
3) En déduire la nature du triangle $ABC$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $z_{\overrightarrow{AB}}=b-a=1+i$ et $z_I=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac72+\dfrac52i$.

2) On utilise $AB=|b-a|$ : $AB=|1+i|=\sqrt2$ ; $AC=|c-a|=|2-i|=\sqrt5$ ; $BC=|c-b|=|1-2i|=\sqrt5$.

3) $CA=CB=\sqrt5$ : le triangle est isocèle en $C$. Il n'est pas rectangle : $AC^{2}+BC^{2}=10$ et $AB^{2}=2$.

Conclusion : $ABC$ est isocèle en $C$ ($CA=CB=\sqrt5$, $AB=\sqrt2$).

Exercice 4

🔵 Application · Libre

Écrire sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle : 1) $z_1=1+i$ ; 2) $z_2=-\sqrt3+i$ ; 3) $z_3=-2i$ ; 4) $z_4=1-i\sqrt3$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Méthode : on calcule le module $r$, on factorise par $r$, puis on reconnaît $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

1) $|z_1|=\sqrt2$ et $z_1$ $=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ $=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$ $=\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}$.

2) $|z_2|=\sqrt{3+1}=2$ et $z_2$ $=2\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12i\right)$ $=2\left(\cos\dfrac{5\pi}6+i\sin\dfrac{5\pi}6\right)$ $=2e^{i\frac{5\pi}6}$.

3) $|z_3|=2$ et $z_3$ $=2(0-i)$ $=2\left(\cos\left(-\dfrac\pi2\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi2\right)\right)$ $=2e^{-i\frac\pi2}$.

4) $|z_4|=2$ et $z_4$ $=2\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ $=2\left(\cos\left(-\dfrac\pi3\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi3\right)\right)$ $=2e^{-i\frac\pi3}$.

Conclusion : $z_1=\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}$, $z_2=2e^{i\frac{5\pi}6}$, $z_3=2e^{-i\frac\pi2}$ et $z_4=2e^{-i\frac\pi3}$.

Exercice 5

🔵 Application · Libre

Calculer, en passant par la forme exponentielle : 1) $(1+i)^{8}$ ; 2) $\left(1+i\sqrt3\right)^{6}$ ; 3) $(1-i)^{10}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : $\left(re^{i\theta}\right)^{n}$ $=r^{n}e^{in\theta}$ (formule de Moivre).

1) $1+i=\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}$, donc $(1+i)^{8}$ $=\left(\sqrt2\right)^{8}e^{i2\pi}$ $=16$.

2) $1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}$, donc $\left(1+i\sqrt3\right)^{6}$ $=2^{6}e^{i2\pi}$ $=64$.

3) $1-i=\sqrt2\,e^{-i\frac\pi4}$, donc $(1-i)^{10}$ $=\left(\sqrt2\right)^{10}e^{-i\frac{5\pi}2}$ $=32e^{-i\frac\pi2}$ $=-32i$.

Conclusion : $(1+i)^{8}=16$, $\left(1+i\sqrt3\right)^{6}=64$ et $(1-i)^{10}=-32i$.

Exercice 6

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb C$ : 1) $z^{2}+9=0$ ; 2) $z^{2}-6z+13=0$ ; 3) $2z^{2}+2z+5=0$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $z^{2}=-9=(3i)^{2}$, donc $z=3i$ ou $z=-3i$.

2) $\Delta=36-52=-16=(4i)^{2}$. Deux solutions conjuguées : $z=\dfrac{6\pm4i}{2}$, soit $3+2i$ et $3-2i$.

3) $\Delta=4-40=-36=(6i)^{2}$, donc $z=\dfrac{-2\pm6i}{4}$, soit $-\dfrac12+\dfrac32i$ et $-\dfrac12-\dfrac32i$.

Conclusion : 1) $S=\{-3i\,;3i\}$ ; 2) $S=\{3-2i\,;3+2i\}$ ; 3) $S$ $=\left\{-\dfrac12-\dfrac32i\,;-\dfrac12+\dfrac32i\right\}$.

Exercice 7

🔵 Application · Libre

On considère les points $A(1+i)$, $B(2)$ et $\Omega(1)$. Donner l'écriture complexe de chaque transformation, puis l'affixe de l'image demandée :
1) la translation de vecteur $\vec w$ d'affixe $2-i$ ; image de $A$.
2) l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $3$ ; image de $A$.
3) la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac\pi2$ ; image de $A$.
4) la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac\pi3$ ; image de $B$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $z'=z+2-i$ ; image de $A$ : $1+i+2-i=3$.

2) $z'-1=3(z-1)$, soit $z'=3z-2$ ; image de $A$ : $3+3i-2=1+3i$.

3) $z'=e^{i\frac\pi2}z=iz$ ; image de $A$ : $i(1+i)=-1+i$.

4) $z'-1=e^{i\frac\pi3}(z-1)$ ; image de $B$ : $1+e^{i\frac\pi3}\times1$ $=1+\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ $=\dfrac32+i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Attention : pour une rotation de centre $\Omega$, on n'oublie pas le « $+\,\omega$ » à la fin.

Conclusion : Images : $3$ ; $1+3i$ ; $-1+i$ ; $\dfrac32+i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Exercice 8

🔵 Application · Libre

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : 1) $|z-1+2i|=2$ ; 2) $|z-2i|=|z+1|$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : on écrit chaque module sous la forme $|z-z_P|$, qui vaut la distance $PM$.

1) $|z-1+2i|=|z-(1-2i)|=\Omega M$ avec $\Omega(1-2i)$. La condition $\Omega M=2$ décrit le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $2$.

2) Avec $A(2i)$ et $B(-1)$ : $|z-2i|=AM$ et $|z+1|=|z-(-1)|=BM$. La condition $AM=BM$ décrit la médiatrice du segment $[AB]$.

Vérification avec $z=x+iy$ : $x^{2}+(y-2)^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}$ donne $2x+4y-3=0$, une droite.

Conclusion : 1) le cercle de centre $\Omega(1-2i)$ et de rayon $2$ ; 2) la médiatrice de $[AB]$ avec $A(2i)$ et $B(-1)$, d'équation $2x+4y-3=0$.

Exercice 1

🟡 Médium

D'après le sujet national 2017 (session normale).
On considère les nombres complexes $a=\sqrt3+i$ et $b=\sqrt3-1+\left(\sqrt3+1\right)i$.
1) Vérifier que $b=(1+i)a$.
2) En déduire que $|b|=2\sqrt2$ et que $\arg(b)\equiv\dfrac{5\pi}{12}\,[2\pi]$.
3) En déduire que $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ $=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.

✓ Correction