Ce chapitre approfondit l'étude des suites numériques : suites définies par une relation affine ou homographique, limites de suites de référence, limite d'une composée, et convergence des suites récurrentes du type $u_{n+1}=f(u_n)$ — un sujet classique et très fréquent à l'examen.
Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, de terme général $u_n=u_0+nr$. Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q\cdot u_n$, de terme général $u_n=u_0\cdot q^n$. Ces deux modèles servent de base pour étudier des suites plus complexes.
Pour une telle suite (avec $a\neq1$), on cherche le point fixe $\ell$ vérifiant $\ell=a\ell+b$, c'est-à-dire $\ell=\dfrac{b}{1-a}$. On pose alors $v_n=u_n-\ell$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, ce qui permet d'exprimer $u_n$ explicitement.
$$\ell=\dfrac{b}{1-a} \qquad v_n=u_n-\ell \;\text{(géométrique de raison }a\text{)}$$
Pour une suite homographique, on cherche le(s) point(s) fixe(s) $\ell$ vérifiant $\ell=\dfrac{a\ell+b}{c\ell+d}$. Si $\ell$ est un point fixe unique, on pose souvent $v_n=\dfrac{1}{u_n-\ell}$ : cette nouvelle suite est généralement arithmétique, ce qui permet de revenir à $u_n$.
On connaît les limites usuelles : $\lim q^n=0$ si $|q|<1$, $\lim q^n=+\infty$ si $q>1$. Critères de convergence : toute suite croissante majorée converge ; toute suite décroissante minorée converge ; le théorème des gendarmes permet d'encadrer une suite pour déterminer sa limite.
$$|q|<1 \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} q^n = 0$$
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors la suite $v_n=f(u_n)$ converge vers $f(\ell)$. C'est un outil puissant pour calculer la limite d'une suite définie comme image d'une autre suite par une fonction.
$$\lim u_n=\ell,\; f \text{ continue en } \ell \;\Longrightarrow\; \lim f(u_n)=f(\ell)$$
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, si $f(I)\subset I$ (l'image de $I$ par $f$ reste dans $I$), et si $u_0\in I$, alors tous les termes de la suite restent dans $I$ (récurrence). Si de plus la suite converge, sa limite $\ell$ vérifie nécessairement $f(\ell)=\ell$ (point fixe de $f$). On combine souvent ce résultat avec une étude de monotonie (via le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou la comparaison de $f$ à l'identité) pour prouver la convergence elle-même.
$$f \text{ continue sur } I,\; f(I)\subset I,\; u_0\in I \;\Longrightarrow\; u_n\in I\;\forall n \quad\text{et, si convergente, } f(\ell)=\ell$$
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Point fixe : $\ell=\dfrac12\ell+3 \Rightarrow \ell=6$. $v_n=u_n-6$. $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac12 u_n+3-6=\dfrac12 u_n-3=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12 v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $1/2$, $v_0=4-6=-2$. $v_n=-2\times(1/2)^n$, donc $u_n=6-2\times(1/2)^n$.
$f$ est croissante sur $I$ ; $f(0)=\sqrt2\approx1{,}41\in I$ et $f(2)=2\in I$, donc $f(I)\subset[0;2]=I$. Par récurrence, $u_n\in I$ pour tout $n$. Étude du signe de $f(x)-x$ sur $I$ montre $f(x)\geq x$, donc $(u_n)$ est croissante. Croissante et majorée par 2 : elle converge vers $\ell\in I$ vérifiant $f(\ell)=\ell$, soit $\sqrt{\ell+2}=\ell \Rightarrow \ell^2-\ell-2=0 \Rightarrow \ell=2$ (seule solution dans $I$).
La suite $u_n=\dfrac{1}{n+1}\to0$. La fonction $\cos$ est continue en $0$. Donc $\cos(u_n)\to\cos(0)=1$.