Ce chapitre couvre l'orthogonalité par le produit scalaire, et son utilisation pour caractériser plans et droites dans l'espace.

Orthogonalité de deux vecteurs · تعامد متجهتين

$\vec u\cdot\vec v=0 \Leftrightarrow \vec u\perp\vec v$ (pour des vecteurs non nuls). En coordonnées, $\vec u(x;y;z)\cdot\vec v(x';y';z')=xx'+yy'+zz'$.

$$\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz' \qquad \vec u\perp\vec v \;\Longleftrightarrow\; \vec u\cdot\vec v=0$$

Expression vectorielle et analytique de l'orthogonalité · التعبير المتجهي والتحليلي للتعامد

Vectoriellement, on démontre l'orthogonalité en exprimant les vecteurs en fonction d'une base et en calculant leur produit scalaire. Analytiquement, on utilise directement les coordonnées dans un repère orthonormé.

Équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal · معادلة مستوى معرف بنقطة ومتجهة ناظمية

Un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ a pour équation $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, soit $ax+by+cz+d=0$.

$$ax+by+cz+d=0, \quad \vec n(a;b;c) \text{ normal au plan}$$

Représentation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan · التمثيل البرامتري لمستقيم عمودي على مستوى

Une droite orthogonale à un plan de vecteur normal $\vec n$ admet $\vec n$ comme vecteur directeur. Passant par $A(x_0;y_0;z_0)$, sa représentation paramétrique est $\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}, t\in\mathbb{R}$.

• $\vec u\cdot\vec v=0$ caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls
• Le vecteur normal à un plan donne directement les coefficients de son équation cartésienne
• Une droite orthogonale à un plan a pour vecteur directeur le vecteur normal du plan