Ce chapitre couvre les dénombrements, la probabilité conditionnelle, l'indépendance, et les lois de probabilité (notamment binomiale).

Modèles de dénombrement · نماذج العد

Selon la situation, on utilise : arrangements (ordre important, sans répétition), permutations (tous les éléments, ordonnés), combinaisons (ordre sans importance), ou le principe multiplicatif.

$$A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!} \qquad C_n^p=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$$

Probabilités d'événements : réunion, contraire, intersection · احتمالات الأحداث: الاتحاد، المخالف، التقاطع

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. $P(\bar A)=1-P(A)$. Si $A,B$ incompatibles, $P(A\cap B)=0$.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Probabilité conditionnelle et indépendance · الاحتمال الشرطي والاستقلالية

$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. $A,B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

$$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad A\perp B \Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Loi de probabilité d'une variable aléatoire · قانون احتمال متغيرة عشوائية

La loi de probabilité associe à chaque valeur $x_i$ sa probabilité $P(X=x_i)$. Paramètres : espérance $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$, variance $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$, écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

$$E(X)=\sum x_i P(X=x_i) \qquad V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$

La loi binomiale · القانون الثاني الحدين

Un schéma de Bernoulli répété $n$ fois (succès de probabilité $p$) suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$, avec $E(X)=np$.

$$P(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}, \qquad E(X)=np$$

• Identifier le bon modèle de dénombrement avant de compter (ordre ? répétition ?)
• Indépendance : à DÉMONTRER par le calcul, jamais supposée sans justification
• Loi binomiale : reconnaître les conditions (épreuves identiques, indépendantes, 2 issues)
• $E(X)=np$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$