Pour un solide de masse $m$ fixé à un ressort de raideur $k$, sans frottement : $m\ddot x+kx=0$, soit $\ddot x+\omega_0^2x=0$ avec $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Solution $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$. Période propre $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$, fréquence propre $f_0=\dfrac1{T_0}$. $X_m$ et $\varphi$ se déterminent à partir des conditions initiales $x(0)$ et $\dot x(0)$.
Pendule de torsion : couple de rappel $M=-C\theta$ ($C$ : constante de torsion). RFD rotation : $J\ddot\theta+C\theta=0$, période propre $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}$. Pendule pesant (petites oscillations, $\sin\theta\approx\theta$) : $\ddot\theta+\dfrac{mgd}{J}\theta=0$ ($d$ : distance axe-centre de masse), période propre $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J}{mgd}}$. Le pendule simple synchrone a une longueur $\ell=\dfrac{J}{md}$ donnant la même période. Résonance mécanique : quand la fréquence de l'excitateur se rapproche de la fréquence propre du résonateur, l'amplitude des oscillations forcées devient maximale ; l'amortissement limite cette amplitude à la résonance.
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$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{8}}=2\pi\sqrt{0{,}025}=2\pi\times0{,}158\approx0{,}99$ s.
$T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}05}{0{,}5\times10\times0{,}2}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}05}{1}}=2\pi\times0{,}224\approx1{,}4$ s.