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2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

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📐 Analyse · Chapitre 6 · التحليل

Les fonctions exponentiellesالدوال الأسية

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

🎬 6 capsules vidéo (30 min) + 20 exercices

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Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي

Maîtriser la résolution des équations, des inéquations et des systèmes exponentiels
Maîtriser les limites de base de la fonction exponentielle et les appliquer
Étudier et représenter des fonctions comportant la fonction exponentielle népérienne et la fonction logarithme népérien
Utiliser les formules de dérivation pour déterminer les primitives d'une fonction sur un intervalle

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Vidéo du cours

فيديو الدرس

Capsule 1/6 : exp : la fonction qui défait lnSous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube

Le cours en 6 capsules courtes · regarde-les dans l'ordre

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Le cours

الدرس

💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق

Au chapitre 5, on a résolu des équations comme $\ln x=2$ : la solution est $x=e^{2}$. Mais que faire de $\ln x=0{,}7$, ou de $\ln x=-3{,}2$ ?
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, et elle prend toutes les valeurs réelles (ses limites sont $-\infty$ en $0$ et $+\infty$ en $+\infty$). Donc, pour chaque réel $k$, l'équation $\ln x=k$ a une unique solution. Associer à $k$ cette solution, c'est définir une nouvelle fonction : la fonction exponentielle, qui « défait » $\ln$.
Grâce à elle, on saura résoudre $\ln x=0{,}7$ (on trouvera $x\approx2{,}01$), et surtout on pourra décrire tous les phénomènes qui varient « proportionnellement à eux-mêmes » : la désintégration d'une substance radioactive, la concentration d'un médicament dans le sang, la croissance d'une population…

🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل

Définir la fonction exponentielle comme la réciproque de $\ln$, connaître la notation $e^{x}$ et ses propriétés algébriques.
Résoudre des équations, des inéquations et des systèmes comportant des exponentielles.
Calculer les limites de référence de l'exponentielle et lever des indéterminations.
Dériver $e^{u}$ et déterminer les primitives de $u'e^{u}$.
Étudier et représenter des fonctions comportant $e^{x}$ et $\ln x$.
Utiliser l'exponentielle de base $a$ pour modéliser (décroissance radioactive, demi-vie).

Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.

📘1. La fonction exponentielle🎬 capsule 1الدالة الأسية النيبيرية

▶ Regarder la capsule 1/6

exp : la fonction qui défait ln· 5 min · sous-titres disponibles

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📘 DÉFINITIONS

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, et $\ln$ prend toutes les valeurs de $\mathbb R$. Elle admet donc une fonction réciproque, définie sur $\mathbb R$ et à valeurs dans $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

Définition. Cette fonction réciproque s'appelle la fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ :

$\exp:\ \mathbb R\longrightarrow\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ et, pour $x\in\mathbb R$ et $y\gt 0$ : $y=\exp(x)\iff x=\ln y$.

Conséquences.

Pour tout réel $x$ : $\exp(x)\gt 0$.
Pour tout réel $x$ : $\ln\left(\exp(x)\right)=x$ ; pour tout $y\gt 0$ : $\exp(\ln y)=y$.
$\exp(0)=1$ (car $\ln1=0$) et $\exp(1)=e$ (car $\ln e=1$).
Dans un repère orthonormé, les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

✏️ EXEMPLE

1) Calculer $\exp(\ln5)$ et $\ln\left(\exp(-2)\right)$. 2) Pour quel réel $x$ a-t-on $\exp(x)=3$ ?
Solution. 1) $\exp(\ln5)=5$ (car $5\gt 0$) et $\ln\left(\exp(-2)\right)=-2$.
2) $\exp(x)=3\iff x=\ln3$ : la solution est $x=\ln3\approx1{,}10$.

✋ À TOI

Calculer $\exp(0)$ et $\ln\left(\exp(7)\right)$. Existe-t-il un réel $x$ tel que $\exp(x)=-1$ ?

Voir la réponse

Réponse. $\exp(0)=1$ et $\ln\left(\exp(7)\right)=7$. Non : $\exp(x)\gt 0$ pour tout réel $x$.

📘2. Le nombre e et la notation exponentielleالعدد e والكتابة الأسية

📘 DÉFINITIONS

Soit $r$ un rationnel. D'après le chapitre 5, $\ln\left(e^{r}\right)=r\ln e=r$. Or, par définition, $\ln\left(\exp(r)\right)=r$ aussi. Comme $\ln$ prend chaque valeur une seule fois : $\exp(r)=e^{r}$.

On prolonge cette écriture à tous les réels : pour tout réel $x$, on note $\exp(x)=e^{x}$ (on lit « $e$ exposant $x$ » ou « exponentielle de $x$ »). Ainsi $e^{\sqrt2}$ ou $e^{-1{,}3}$ ont maintenant un sens.

Ce qu'il faut savoir :

$e^{x}\gt 0$ pour tout réel $x$ ; $e^{0}=1$ et $e^{1}=e\approx2{,}718$.
$\ln\left(e^{x}\right)=x$ pour tout réel $x$, et $e^{\ln y}=y$ pour tout $y\gt 0$.
Pour $y\gt 0$ : $e^{x}=y\iff x=\ln y$.

✏️ EXEMPLE

1) Calculer $e^{\ln7}$, $\ln\left(e^{-3}\right)$ et $e^{0}$. 2) Donner une valeur approchée de $e^{-2}$.
Solution. 1) $e^{\ln7}=7$ ; $\ln\left(e^{-3}\right)=-3$ ; $e^{0}=1$.
2) À la calculatrice (touche $e^{x}$) : $e^{-2}\approx0{,}135$. C'est un nombre strictement positif, même si l'exposant est négatif.

✋ À TOI

Simplifier $\ln\left(e^{2x}\right)$ pour $x$ réel, et $e^{\ln(x^2+1)}$.

Voir la réponse

Réponse. $\ln\left(e^{2x}\right)=2x$ ; $e^{\ln(x^2+1)}=x^2+1$ (car $x^2+1\gt 0$).

📐3. L'exponentielle est strictement croissanteالدالة الأسية تزايدية قطعا

📐 PROPRIÉTÉS

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante : sa réciproque $x\mapsto e^{x}$ l'est aussi (chapitre 1). Donc, pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^{a}=e^{b}\iff a=b$ ;
$e^{a}\lt e^{b}\iff a\lt b$ (l'ordre est conservé).

Comme $e^{0}=1$, on en déduit le signe de $e^{x}-1$ :

$x\lt 0$	$x=0$	$x\gt 0$
$e^{x}\lt 1$	$e^{x}=1$	$e^{x}\gt 1$

✏️ EXEMPLE

1) Comparer $e^{\sqrt2}$ et $e^{1{,}5}$. 2) Étudier le signe de $e^{-x}-1$ selon les valeurs de $x$.
Solution. 1) $\sqrt2\lt 1{,}5$ (car $2\lt 2{,}25$) et $\exp$ est strictement croissante, donc $e^{\sqrt2}\lt e^{1{,}5}$.
2) $e^{-x}-1\gt 0$ $\iff e^{-x}\gt e^{0}$ $\iff-x\gt 0$ $\iff x\lt 0$. Donc $e^{-x}-1$ est positif pour $x\lt 0$, nul pour $x=0$ et négatif pour $x\gt 0$.

✋ À TOI

Comparer $e^{-1/2}$ et $e^{-1/3}$.

Voir la réponse

Réponse. $-\dfrac12\lt -\dfrac13$ et $\exp$ est strictement croissante, donc $e^{-1/2}\lt e^{-1/3}$.

📐4. Propriétés algébriques🎬 capsule 2الخاصيات الجبرية

▶ Regarder la capsule 2/6

Les règles de calcul de l'exponentielle· 4 min · sous-titres disponibles

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📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ et tout rationnel $r$ :

$e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}$ : l'exponentielle transforme les sommes en produits ;
$e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}$ ;
$e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$ ;
$\left(e^{a}\right)^{r}=e^{ra}$ ; en particulier $\left(e^{a}\right)^{2}=e^{2a}$ et $\sqrt{e^{a}}=e^{a/2}$.

Preuve de la propriété 1. Les nombres $e^{a}$ et $e^{b}$ sont strictement positifs, donc $\ln\left(e^{a}\times e^{b}\right)$ $=\ln e^{a}+\ln e^{b}$ $=a+b$ $=\ln\left(e^{a+b}\right)$. Comme $\ln$ prend chaque valeur une seule fois, $e^{a}\times e^{b}=e^{a+b}$.

Les autres s'en déduisent : $e^{a}\times e^{-a}=e^{0}=1$ donne la 2 ; la 3 s'écrit $e^{a-b}=e^{a}\times e^{-b}$ ; et, pour la 4, $\ln\left(\left(e^{a}\right)^{r}\right)$ $=r\ln e^{a}$ $=ra$ $=\ln\left(e^{ra}\right)$.

✏️ EXEMPLE

Simplifier, pour $x$ réel : 1) $A=e^{2x+1}\times e^{3-x}$ ; 2) $B$ $=\dfrac{\left(e^{x}\right)^{3}}{e^{2x-1}}$ ; 3) $C=\sqrt{e^{6x}}$.
Solution. 1) $A=e^{(2x+1)+(3-x)}=e^{x+4}$.
2) $B$ $=\dfrac{e^{3x}}{e^{2x-1}}$ $=e^{3x-(2x-1)}$ $=e^{x+1}$.
3) $C=\left(e^{6x}\right)^{1/2}=e^{3x}$.

✋ À TOI

Simplifier $\dfrac{e^{x+2}\times e^{-3x}}{e^{x}}$.

Voir la réponse

Réponse. $\dfrac{e^{x+2-3x}}{e^{x}}$ $=\dfrac{e^{2-2x}}{e^{x}}$ $=e^{2-3x}$.

🛠5. Simplifier avec ln et exp, et éviter les piègesالتبسيط وتجنب الأخطاء

🛠 MÉTHODE

Avec un logarithme dans l'exposant. Pour $a\gt 0$ et $k$ réel : $e^{k\ln a}$ $=e^{\ln\left(a^{k}\right)}$ $=a^{k}$. Par exemple $e^{2\ln5}=25$ et $e^{-\ln3}=\dfrac13$.

Quatre pièges à éviter.

$e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}$, mais il n'y a aucune règle pour $e^{a}+e^{b}$.
$\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}$ n'est pas $e^{x^{2}}$ : pour $x=3$, on obtient $e^{6}$ d'un côté et $e^{9}$ de l'autre.
$e^{-x}=\dfrac1{e^{x}}\gt 0$ : ce n'est pas $-e^{x}$.
$e^{0}=1$ (et non $0$) ; $e^{1}=e$ (et non $1$).

✏️ EXEMPLE

1) Simplifier $A=e^{2\ln5}$, $B=e^{\ln6-\ln2}$ et $C=\ln\left(e^{-3}\right)+e^{\ln4}$. 2) Montrer que, pour tout réel $x$ : $\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}=\dfrac1{1+e^{-x}}$. 3) Montrer que $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}$ $=4$.
Solution. 1) $A=e^{\ln\left(5^{2}\right)}=25$ ; $B=e^{\ln\frac62}=e^{\ln3}=3$ ; $C=-3+4=1$.
2) On divise le numérateur et le dénominateur par $e^{x}$ : $\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ $=\dfrac{1}{1+\frac1{e^{x}}}$ $=\dfrac1{1+e^{-x}}$.
3) Comme $e^{x}\times e^{-x}=e^{0}=1$, on a $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}$ $=e^{2x}+2+e^{-2x}$ et $\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}$ $=e^{2x}-2+e^{-2x}$. La différence vaut $2-(-2)=4$.

✋ À TOI

Pour $x=3$, écrire $\left(e^{x}\right)^{2}$ et $e^{x^{2}}$ sous la forme $e^{\dots}$. Sont-ils égaux ?

Voir la réponse

Réponse. $\left(e^{3}\right)^{2}=e^{6}$ alors que $e^{3^{2}}=e^{9}$. Comme $6\neq9$, ils sont différents : $\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}$, et non $e^{x^{2}}$.

🛠6. Équations exponentielles🎬 capsule 3المعادلات الأسية

▶ Regarder la capsule 3/6

Résoudre avec exp : le réflexe X· 6 min · sous-titres disponibles

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🛠 MÉTHODE

Méthode.

Repérer les conditions éventuelles : $e^{u}$ existe toujours, mais un $\ln$ ou un dénominateur imposent des conditions.
Se ramener à $e^{u}=e^{v}$ ou à $e^{u}=k$.
$e^{u}=e^{v}\iff u=v$. Et $e^{u}=k$ : si $k\gt 0$, alors $u=\ln k$ ; si $k\leq0$, il n'y a aucune solution (car $e^{u}\gt 0$).
Si l'équation est du second degré en $e^{x}$, poser $X=e^{x}$ avec $X\gt 0$, résoudre en $X$, ne garder que les $X\gt 0$, puis revenir à $x=\ln X$.

Équations avec $\ln$. Pour $u\gt 0$ et pour tout réel $k$ : $\ln u=k\iff u=e^{k}$ (le chapitre 5 ne le donnait que pour $k$ rationnel).

✏️ EXEMPLE

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $e^{2x-1}=e^{x+3}$ ; 2) $e^{x}=5$, puis $e^{x}=-2$ ; 3) $e^{2x}+e^{x}-2=0$ ; 4) $\ln x=0{,}7$ (la question de départ).
Solution. 1) $e^{2x-1}=e^{x+3}$ $\iff2x-1=x+3$ $\iff x=4$. $S=\{4\}$.
2) $e^{x}=5\iff x=\ln5$ ; $S=\{\ln5\}$. Pour $e^{x}=-2$ : $e^{x}\gt 0$ pour tout $x$, donc $S=\varnothing$ (écrire $x=\ln(-2)$ n'a aucun sens).
3) On pose $X=e^{x}$, avec $X\gt 0$ : $X^{2}+X-2=0$, soit $(X-1)(X+2)=0$, donc $X=1$ ou $X=-2$. Seule $X=1$ est positive, donc $e^{x}=1$, soit $x=0$. $S=\{0\}$.
4) $\ln x=0{,}7$ $\iff x=e^{0{,}7}\approx2{,}01$, et $2{,}01\gt 0$ : $S=\{e^{0{,}7}\}$.

✋ À TOI

Résoudre $e^{2x}-5e^{x}+6=0$.

Voir la réponse

Réponse. Avec $X=e^{x}\gt 0$ : $X^{2}-5X+6=0$ donne $X=2$ ou $X=3$, tous deux positifs. Donc $x=\ln2$ ou $x=\ln3$ : $S=\{\ln2\,;\ln3\}$.

🛠7. Inéquations exponentiellesالمتراجحات الأسية

🛠 MÉTHODE

Méthode. On utilise la croissance de $\exp$ : $e^{u}\lt e^{v}\iff u\lt v$ (même sens). Pour comparer à un nombre $k$ :

si $k\gt 0$ : $e^{u}\lt k\iff u\lt \ln k$ et $e^{u}\gt k\iff u\gt \ln k$ ;
si $k\leq0$ : $e^{u}\lt k$ n'a aucune solution et $e^{u}\gt k$ est vraie pour tout $u$ (car $e^{u}\gt 0$).

Pour une inéquation du second degré en $e^{x}$, on pose $X=e^{x}$ ($X\gt 0$), on résout en $X$, puis on revient à $x$ : s'arrêter à l'encadrement de $X$ est une erreur classique.

⚠️ ATTENTION

Attention au sens. Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

✏️ EXEMPLE

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $e^{3x-2}\gt e^{x+4}$ ; 2) $e^{2x}-3e^{x}+2\lt 0$. 3) La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est $C(t)=10\,e^{-0{,}2t}$ ($t$ en heures). À partir de quand a-t-on $C(t)\leq1$ ?
Solution. 1) $e^{3x-2}\gt e^{x+4}$ $\iff3x-2\gt x+4$ $\iff x\gt 3$. $S=\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$.
2) Avec $X=e^{x}\gt 0$ : $X^{2}-3X+2\lt 0$ $\iff(X-1)(X-2)\lt 0$ $\iff1\lt X\lt 2$. On revient à $x$ : $1\lt e^{x}\lt 2\iff0\lt x\lt \ln2$. $S=\mathopen{]}0\,;\ln2\mathclose{[}$.
3) $10\,e^{-0{,}2t}\leq1$ $\iff e^{-0{,}2t}\leq0{,}1$ $\iff-0{,}2t\leq\ln0{,}1=-\ln10$. En divisant par $-0{,}2\lt 0$, le sens change : $t\geq\dfrac{\ln10}{0{,}2}$ $=5\ln10\approx11{,}5$. La concentration est inférieure à $1$ mg/L à partir de $11{,}5$ heures environ.

✋ À TOI

Résoudre $e^{-x}\lt 2$.

Voir la réponse

Réponse. $e^{-x}\lt 2$ $\iff-x\lt \ln2$ $\iff x\gt -\ln2$ (on a multiplié par $-1$, le sens change). $S$ $=\mathopen{]}-\ln2\,;+\infty\mathclose{[}$.

🛠8. Systèmes exponentielsالنظمات الأسية

🛠 MÉTHODE

Méthode. Quand les inconnues $x$ et $y$ n'apparaissent que dans $e^{x}$ et $e^{y}$ :

poser $X=e^{x}$ et $Y=e^{y}$, avec $X\gt 0$ et $Y\gt 0$ ;
résoudre le système en $X$ et $Y$ ;
vérifier que $X\gt 0$ et $Y\gt 0$, puis revenir à $x=\ln X$ et $y=\ln Y$.

Si le système contient aussi $x+y$, on utilise $e^{x+y}=e^{x}\times e^{y}=XY$.

✏️ EXEMPLE

Résoudre dans $\mathbb R^{2}$ : 1) $\begin{cases}e^{x}+2e^{y}=7\\ 4e^{x}-e^{y}=1\end{cases}$ ; 2) $\begin{cases}x+y=\ln6\\ e^{x}-e^{y}=1\end{cases}$.
Solution. 1) Avec $X=e^{x}\gt 0$ et $Y=e^{y}\gt 0$ : $\begin{cases}X+2Y=7\\ 4X-Y=1\end{cases}$. La seconde équation donne $Y=4X-1$, d'où $X+2(4X-1)=7$, soit $9X=9$ : $X=1$ et $Y=3$. Ils sont positifs : $x=\ln1=0$ et $y=\ln3$. $S=\{(0\,;\ln3)\}$.
2) De $x+y=\ln6$ on tire $e^{x}\times e^{y}=e^{x+y}=6$, soit $XY=6$. Avec $X-Y=1$ : $X=Y+1$, donc $Y^{2}+Y-6=0$, soit $Y=2$ ou $Y=-3$. Seule $Y=2$ convient ($Y\gt 0$), d'où $X=3$. Donc $x=\ln3$ et $y=\ln2$. Vérification : $\ln3+\ln2=\ln6$ et $3-2=1$. $S=\{(\ln3\,;\ln2)\}$.

✋ À TOI

Résoudre $\begin{cases}e^{x}+e^{y}=5\\ e^{x+y}=4\end{cases}$.

Voir la réponse

Réponse. Avec $X=e^{x}$ et $Y=e^{y}$ : $X+Y=5$ et $XY=4$, donc $X$ et $Y$ sont les racines de $t^{2}-5t+4=0$, soit $1$ et $4$. Ainsi $S=\{(0\,;\ln4),\ (\ln4\,;0)\}$.

🛠Carte : quelle méthode avec exp ?خريطة: أي طريقة نختار مع الدالة الأسية؟

🛠 MÉTHODE

Je vois…	Je pense à…	Je conclus avec…
$e^{u}=e^{v}$	l'exponentielle prend chaque valeur une seule fois	$u=v$
$e^{u}=k$	signe de $k$	$u=\ln k$ si $k\gt 0$ ; aucune solution si $k\leq0$
$e^{2x}$ et $e^{x}$ ensemble	poser $X=e^{x}$, avec $X\gt 0$	résoudre en $X$, rejeter $X\leq0$, puis $x=\ln X$
$e^{u}\lt e^{v}$ ou $e^{u}\lt k$ ($k\gt 0$)	$\exp$ est croissante	$u\lt v$ (même sens) ou $u\lt \ln k$ ; changer le sens si on divise par un négatif
$\ln u=k$	validité $u\gt 0$	$u=e^{k}$
un système en $e^{x}$ et $e^{y}$	$X=e^{x}$ et $Y=e^{y}$ ; $e^{x+y}=XY$	système en $X$, $Y$, puis $X\gt 0$, $Y\gt 0$

Dans tous les cas : $e^{u}$ est toujours strictement positif, et on revient à $x$ à la fin.

📐9. Limites de référence🎬 capsule 4نهايات مرجعية

▶ Regarder la capsule 4/6

Les limites de l'exponentielle à connaître· 4 min · sous-titres disponibles

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📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Les limites à connaître ($n$ entier naturel non nul) :

Où va $x$ ?	Limite
$+\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}$ $=+\infty$
$-\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$
$+\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}$ $=+\infty$
$-\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{n}e^{x}$ $=0$
$0$	$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}$ $=1$

D'où viennent-elles ?

Les deux premières traduisent que $\exp$ est la réciproque de $\ln$ : $\ln$ va de $0^+$ (limite $-\infty$) à $+\infty$ (limite $+\infty$), donc $\exp$ va de $0$ en $-\infty$ à $+\infty$ en $+\infty$.
Pour $n=1$ : avec $X=e^{x}$, on a $\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{X}{\ln X}$, et $\dfrac{\ln X}{X}\to0^+$ quand $X\to+\infty$ (chapitre 5) : le quotient tend vers $+\infty$.
Avec $t=e^{x}-1$, on a $x=\ln(1+t)$ et $\dfrac{e^{x}-1}{x}$ $=\dfrac{t}{\ln(1+t)}\to1$, car $\dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1$ quand $t\to0$ (chapitre 5).
En résumé : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, en $+\infty$ comme en $-\infty$.

Composition. Si $u(x)\to+\infty$, alors $e^{u(x)}\to+\infty$ ; si $u(x)\to-\infty$, alors $e^{u(x)}\to0$ ; si $u(x)\to b$ réel, alors $e^{u(x)}\to e^{b}$.

⚠️ ATTENTION

Attention. $xe^{x}$ en $-\infty$ est une forme indéterminée « $(-\infty)\times0$ » : on cite la limite de référence, on n'écrit pas « $-\infty\times0=0$ ». Et on regarde toujours où tend $x$ : $\dfrac{e^{x}}{x}$ (en $+\infty$) et $\dfrac{e^{x}-1}{x}$ (en $0$) sont deux limites différentes.

✏️ EXEMPLE

Calculer 1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{3}}$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}$ ; 3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+1)e^{x}$.
Solution. 1) Limite de référence avec $n=3$ : $+\infty$. 2) Limite de référence avec $n=2$ : $0$.
3) $-x\to-\infty$ quand $x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to0$. Et $(x+1)e^{x}=xe^{x}+e^{x}$ : les deux termes tendent vers $0$, donc la limite est $0$.

✋ À TOI

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{3}e^{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x^{2}}$.

Voir la réponse

Réponse. $x^{3}e^{x}\to0$ (limite de référence, $n=3$) ; $-x^{2}\to-\infty$, donc $e^{-x^{2}}\to0$.

🛠10. Lever une indéterminationرفع حالات عدم التحديد

🛠 MÉTHODE

Méthode. Face à une forme indéterminée contenant une exponentielle :

regarder où tend l'exposant $u(x)$ ;
choisir la limite de référence qui correspond (tableau ci-dessous) ;
sinon, factoriser par le terme dominant ($e^{x}$, $e^{2x}$, ou $x$).

Si $u(x)$ tend vers…	on utilise…
$+\infty$	$\dfrac{e^{u}}{u}\to+\infty$
$-\infty$	$ue^{u}\to0$
$0$	$\dfrac{e^{u}-1}{u}\to1$

Avec un logarithme. Il n'y a pas de règle pour $\ln(e^{x}+1)$ : on factorise par $e^{x}$, $\ln\left(e^{x}+1\right)$ $=\ln\left(e^{x}\left(1+e^{-x}\right)\right)$ $=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)$.

✏️ EXEMPLE

Calculer 1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(e^{x}-x\right)$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ ; 3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\ln\left(e^{x}+1\right)-x\right]$.
Solution. 1) Forme « $+\infty-\infty$ ». On factorise par $x$ : $e^{x}-x=x\left(\dfrac{e^{x}}{x}-1\right)$. Comme $\dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty$, la parenthèse tend vers $+\infty$, et le produit aussi.
2) Forme « $\dfrac00$ ». On fait apparaître $u=2x\to0$ : $\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ $=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\to2\times1$ $=2$.
3) D'après la factorisation ci-dessus : $\ln\left(e^{x}+1\right)-x$ $=\ln\left(1+e^{-x}\right)$. Or $e^{-x}\to0$, donc la limite est $\ln1=0$.

✋ À TOI

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^{2x}$.

Voir la réponse

Réponse. $xe^{2x}=\dfrac12\times(2x)e^{2x}$ et $u=2x\to-\infty$, donc $ue^{u}\to0$ : la limite est $0$.

📐11. Dérivée de exp et de exp(u)🎬 capsule 5مشتقة الدالة الأسية و exp(u)

▶ Regarder la capsule 5/6

Dériver, primitiver, étudier avec exp· 6 min · sous-titres disponibles

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📐 PROPRIÉTÉS

Théorème. La fonction $x\mapsto e^{x}$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$.

Pourquoi ? C'est la réciproque de $\ln$, dont la dérivée $\dfrac1y$ ne s'annule pas. Par la dérivée d'une fonction réciproque (chapitre 2) : $\left(e^{x}\right)'$ $=\dfrac{1}{\ln'\left(e^{x}\right)}$ $=\dfrac{1}{1/e^{x}}$ $=e^{x}$.

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $x\mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$. Par exemple $\left(e^{3x}\right)'=3e^{3x}$ et $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$.

Tangente en $0$ et inégalité. La tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$. De plus, pour tout réel $x$ : $e^{x}\geq x+1$. En effet, $g(x)=e^{x}-x-1$ a pour dérivée $g'(x)=e^{x}-1$, du signe de $x$ : $g$ a un minimum en $0$, égal à $g(0)=0$, donc $g\geq0$.

⚠️ ATTENTION

$\left(e^{u}\right)'$ n'est ni $e^{u}$, ni $ue^{u-1}$ : on n'oublie pas le facteur $u'$.

✏️ EXEMPLE

Calculer la dérivée de 1) $f(x)=xe^{x}$ ; 2) $g(x)=e^{x^{2}-3x}$ ; 3) $h(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$.
Solution. 1) Produit : $f'(x)$ $=1\times e^{x}+x\times e^{x}$ $=(x+1)e^{x}$.
2) Avec $u(x)=x^{2}-3x$ : $g'(x)=(2x-3)e^{x^{2}-3x}$.
3) Quotient : $h'(x)$ $=\dfrac{e^{x}\left(e^{x}+1\right)-e^{x}\times e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}$ $=\dfrac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}$.

✋ À TOI

Calculer la dérivée de $f(x)=e^{-2x+1}$ et de $g(x)=(x-1)e^{x}$.

Voir la réponse

Réponse. $f'(x)=-2e^{-2x+1}$ ; $g'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=xe^{x}$.

📐12. Primitives de u′ × exp(u)الدوال الأصلية للدالة u′exp(u)

📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, les primitives de $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto e^{u(x)}+c$, $c\in\mathbb R$.

Cas fréquent : pour $a\neq0$, une primitive de $e^{ax+b}$ est $\dfrac1a\,e^{ax+b}$.

Méthode. Repérer l'exposant $u$, calculer $u'$, puis ajuster le coefficient pour faire apparaître exactement $u'e^{u}$. On vérifie toujours en dérivant.

⚠️ ATTENTION

Une primitive de $e^{2x}$ est $\dfrac12e^{2x}$, et non $e^{2x}$. Et $\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ (chapitre 5) : ses primitives sont $\ln\left(e^{x}+1\right)+c$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive de 1) $f(x)=e^{2x}$ ; 2) $g(x)=3e^{-x+1}$ ; 3) $h(x)=xe^{x^{2}}$.
Solution. 1) $u(x)=2x$, $u'(x)=2$ : $e^{2x}=\dfrac12\times2e^{2x}$, donc $F(x)=\dfrac12e^{2x}$.
2) $u(x)=-x+1$, $u'(x)=-1$ : $3e^{-x+1}=-3\times\left(-e^{-x+1}\right)$, donc $G(x)=-3e^{-x+1}$.
3) $u(x)=x^{2}$, $u'(x)=2x$ : $xe^{x^{2}}=\dfrac12\times2xe^{x^{2}}$, donc $H(x)=\dfrac12e^{x^{2}}$.
Vérification de 3) : $H'(x)$ $=\dfrac12\times2xe^{x^{2}}$ $=xe^{x^{2}}$.

✋ À TOI

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=e^{4x-1}$ sur $\mathbb R$ qui s'annule en $x=\dfrac14$.

Voir la réponse

Réponse. $F(x)=\dfrac14e^{4x-1}+c$. Or $F\left(\dfrac14\right)$ $=\dfrac14e^{0}+c$ $=\dfrac14+c$ $=0$, donc $c=-\dfrac14$ et $F(x)=\dfrac14e^{4x-1}-\dfrac14$.

📐13. Étude de la fonction exponentielleدراسة الدالة الأسية

📐 PROPRIÉTÉS

Tableau de variations. $\left(e^{x}\right)'=e^{x}\gt 0$ : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb R$, de $0$ (en $-\infty$) à $+\infty$ (en $+\infty$). Valeurs utiles : $e^{-1}\approx0{,}37$ ; $e^{0}=1$ ; $e^{1}\approx2{,}72$ ; $e^{2}\approx7{,}39$.

Branches infinies.

En $-\infty$ : $e^{x}\to0$, donc la droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote à la courbe.
En $+\infty$ : $e^{x}\to+\infty$ et $\dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty$, donc la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

⚠️ ATTENTION

L'asymptote $y=0$ est en $-\infty$, pas en $+\infty$.

📐 PROPRIÉTÉS

Concavité et tangentes. $\left(e^{x}\right)''=e^{x}\gt 0$ : la courbe est convexe, au-dessus de ses tangentes, dont $y=x+1$ (en $0$) et $y=ex$ (en $1$). Enfin, la courbe de $\exp$ est la symétrique de celle de $\ln$ par rapport à la droite $y=x$.

✏️ EXEMPLE

Étudier la position de la courbe de $\exp$ par rapport à la droite $y=x$.
Solution. Pour tout réel $x$ : $e^{x}\geq x+1$ (partie 11), donc $e^{x}-x\geq1\gt 0$. La courbe de $\exp$ est strictement au-dessus de la droite $y=x$. Par symétrie, celle de $\ln$ est strictement en dessous.

✋ À TOI

Vérifier que la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=ex$.

Voir la réponse

Réponse. $y=e^{1}(x-1)+e^{1}=ex-e+e=ex$.

🛠14. Les fonctions x ↦ exp(u(x))الدوال من الشكل exp(u(x))

🛠 MÉTHODE

À retenir.

Ensemble de définition : $e^{u(x)}$ existe dès que $u(x)$ existe (aucune condition supplémentaire).
Variations : $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ et $e^{u}\gt 0$, donc $e^{u}$ a le même sens de variation que $u$.
Limites : par composition (partie 9).
$e^{-x}=\dfrac1{e^{x}}$ est strictement positive et décroissante (ce n'est pas $-e^{x}$).

✏️ EXEMPLE

Étudier $f(x)=e^{-x^{2}}$ sur $\mathbb R$.
Solution. $f$ est définie sur $\mathbb R$ et paire ($f(-x)=f(x)$).
Variations : $u(x)=-x^{2}$ croît sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{]}$ et décroît sur $\mathopen{[}0\,;+\infty\mathclose{[}$ ; $f$ a le même sens de variation, avec un maximum $f(0)=e^{0}=1$. On le retrouve avec $f'(x)=-2xe^{-x^{2}}$, du signe de $-x$.
Limites : $-x^{2}\to-\infty$ en $\pm\infty$, donc $f(x)\to0$ : l'axe des abscisses est asymptote des deux côtés. La courbe a une forme de cloche.

✋ À TOI

Soit $f(x)=e^{1/x}$ sur $\mathbb R^*$. Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $0^-$.

Voir la réponse

Réponse. En $0^+$ : $\dfrac1x\to+\infty$, donc $f(x)\to+\infty$. En $0^-$ : $\dfrac1x\to-\infty$, donc $f(x)\to0$.

🛠15. Une étude complète, type examenدراسة كاملة من نمط الامتحان

🛠 MÉTHODE

Plan d'étude.

Ensemble de définition, limites aux bornes, asymptotes et branches infinies.
Dérivée $f'$. Si son signe n'est pas évident, on étudie une fonction auxiliaire $g$.
Tableau de variations.
Position de la courbe par rapport à une asymptote $y=ax+b$ : le signe de $f(x)-(ax+b)$ est souvent celui d'un facteur, puisque $e^{x}\gt 0$.
Concavité et points d'inflexion avec $f''$ (chapitre 2).
Équation $f(x)=0$ : fonction continue et strictement monotone, donc solution unique $\alpha$ (chapitre 1).

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x+(x-1)e^{x}$ sur $\mathbb R$.
1) Limites. En $-\infty$ : $(x-1)e^{x}=xe^{x}-e^{x}\to0$, donc $f(x)-x\to0$ : la droite $(D)\ y=x$ est asymptote oblique en $-\infty$. En $+\infty$ : $f(x)\to+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x}$ $=1+\left(1-\dfrac1x\right)e^{x}\to+\infty$ : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
2) Position. $f(x)-x=(x-1)e^{x}$ a le signe de $x-1$ : la courbe est en dessous de $(D)$ pour $x\lt 1$, au-dessus pour $x\gt 1$, et la coupe au point $(1\,;1)$.
3) Dérivée. $f'(x)=1+e^{x}+(x-1)e^{x}=1+xe^{x}$. Posons $g(x)=1+xe^{x}$ : $g'(x)=(x+1)e^{x}$, du signe de $x+1$. Le minimum de $g$ est $g(-1)=1-\dfrac1e\gt 0$. Donc $f'(x)\gt 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
4) Équation $f(x)=0$. $f$ est continue et strictement croissante, $f(0)=-1\lt 0$ et $f(1)=1\gt 0$ : l'équation a une unique solution $\alpha\in\mathopen{]}0\,;1\mathclose{[}$ ($\alpha\approx0{,}66$). Elle vérifie $\alpha+(\alpha-1)e^{\alpha}=0$, soit $e^{\alpha}=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}$.

✋ À TOI

Pour $f(x)=x-1+e^{-x}$ sur $\mathbb R$, calculer $f'(x)$ et en déduire le minimum de $f$.

Voir la réponse

Réponse. $f'(x)=1-e^{-x}$, qui est positif si $e^{-x}\lt 1$, c'est-à-dire si $x\gt 0$. Donc $f$ décroît sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{]}$, croît sur $\mathopen{[}0\,;+\infty\mathclose{[}$, et son minimum est $f(0)=0$.

🛠16. Fonctions mêlant exp et lnدوال تجمع بين الأسية واللوغاريتم

🛠 MÉTHODE

Ensemble de définition. Les conditions viennent du $\ln$ et des dénominateurs, jamais de l'exponentielle :

$\ln\left(e^{x}-2\right)$ : il faut $e^{x}-2\gt 0$, soit $e^{x}\gt 2$, soit $x\gt \ln2$ ;
$\ln\left(e^{x}+1\right)$ : $e^{x}+1\gt 0$ toujours, donc défini sur $\mathbb R$ ;
$\dfrac1{e^{x}-1}$ : il faut $e^{x}\neq1$, soit $x\neq0$.

Simplifier avant de calculer. $\ln\left(e^{u}\right)=u$ et $e^{\ln v}=v$ (pour $v\gt 0$). Pour une somme, on factorise par le terme dominant (partie 10).

Ce type de fonction, avec $e^{x}$ et $\ln x$ ensemble, est au cœur du problème du sujet national 2026.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=\ln\left(1+e^{x}\right)$. 1) Ensemble de définition. 2) Limites et asymptotes. 3) Variations.
Solution. 1) $1+e^{x}\gt 0$ pour tout $x$ : $D_f=\mathbb R$.
2) En $-\infty$ : $e^{x}\to0$, donc $f(x)\to\ln1=0$ : la droite $y=0$ est asymptote. En $+\infty$ : $f(x)=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)$, donc $f(x)-x\to0$ : la droite $y=x$ est asymptote oblique.
3) $f$ est de la forme $\ln u$ : $f'(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\gt 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

✋ À TOI

Déterminer l'ensemble de définition de $f(x)=\ln\left(e^{x}-1\right)$.

Voir la réponse

Réponse. Il faut $e^{x}-1\gt 0$, soit $e^{x}\gt 1$, soit $x\gt 0$ : $D_f=\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

📘17. Exponentielle de base a🎬 capsule 6الدالة الأسية للأساس a

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Base a et demi-vie· 5 min · sous-titres disponibles

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📘 DÉFINITIONS

Définition. Soit $a\gt 0$ avec $a\neq1$. La fonction exponentielle de base $a$ est la réciproque de $\log_a$ (chapitre 5). Pour tout réel $x$ : $a^{x}=e^{x\ln a}$. Pour $a=e$, on retrouve $e^{x}$ ; pour $a=10$, la réciproque du logarithme décimal.

Propriétés. Les mêmes règles que pour $e^{x}$ : $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$, $a^{-x}=\dfrac1{a^{x}}$, $a^{x-y}=\dfrac{a^{x}}{a^{y}}$, $\left(a^{x}\right)^{r}=a^{rx}$. Et, pour $b\gt 0$ : $a^{x}=b$ $\iff x=\dfrac{\ln b}{\ln a}$.

Dérivée et sens de variation. $\left(a^{x}\right)'$ $=\left(e^{x\ln a}\right)'$ $=(\ln a)\,a^{x}$.

Si $a\gt 1$ : $\ln a\gt 0$, la fonction est strictement croissante.
Si $0\lt a\lt 1$ : $\ln a\lt 0$, la fonction est strictement décroissante, et le sens d'une inéquation change.

⚠️ ATTENTION

Certains documents inversent ces deux cas. Pour vérifier : $2^{x}$ croît ($2^{1}\lt 2^{2}$) et $\left(\dfrac12\right)^{x}$ décroît ($\dfrac12\gt \dfrac14$). Et $\left(a^{x}\right)'$ n'est pas $xa^{x-1}$.

✏️ EXEMPLE

1) Résoudre $2^{x}=5$. 2) Résoudre $\left(\dfrac12\right)^{x}\leq\dfrac18$. 3) Dériver $f(x)=3^{x}$.
Solution. 1) $2^{x}=5$ $\iff x\ln2=\ln5$ $\iff x=\dfrac{\ln5}{\ln2}\approx2{,}32$.
2) $\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^{3}$ et la fonction $x\mapsto\left(\dfrac12\right)^{x}$ est décroissante : on change le sens, $x\geq3$. $S=\mathopen{[}3\,;+\infty\mathclose{[}$.
3) $f'(x)=(\ln3)\,3^{x}$.

✋ À TOI

Résoudre $0{,}5^{x}\gt 4$.

Voir la réponse

Réponse. $0{,}5^{x}\gt 4$ $\iff x\ln0{,}5\gt \ln4$. Comme $\ln0{,}5\lt 0$, on change le sens : $x\lt \dfrac{\ln4}{\ln0{,}5}=-2$. $S=\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$.

🛠18. La demi-vie : l'exponentielle dans la natureعمر النصف: الدالة الأسية في الطبيعة

🛠 MÉTHODE

Une substance radioactive se désintègre : chaque jour, elle perd le même pourcentage de sa masse. Sa masse s'écrit donc $M(t)=M_0\times q^{t}$ avec $0\lt q\lt 1$, ou encore $M(t)=M_0\,e^{-\lambda t}$ avec $\lambda=-\ln q\gt 0$.

La demi-vie $T$ est la durée au bout de laquelle la masse a diminué de moitié : $q^{T}=\dfrac12$, soit $T=\dfrac{\ln2}{\lambda}$. Elle ne dépend pas de la masse de départ.

Valeurs approchées. On les obtient à la calculatrice avec les touches $e^{x}$ et $\ln$ ; on garde les valeurs exactes jusqu'à la fin du calcul.

✏️ EXEMPLE

L'iode 131 est utilisé en médecine. Sa masse, en grammes, au bout de $t$ jours, est $M(t)=100\times0{,}917^{t}$. 1) Étudier le sens de variation de $M$. 2) Calculer la demi-vie. 3) Au bout de combien de jours reste-t-il moins de $10$ g ?
Solution. 1) $M'(t)$ $=100\,(\ln0{,}917)\,0{,}917^{t}\lt 0$ car $\ln0{,}917\lt 0$ : $M$ est strictement décroissante.
2) $M(t)=50$ $\iff0{,}917^{t}=0{,}5$ $\iff t\ln0{,}917=\ln0{,}5$ $\iff t$ $=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}917}\approx8{,}0$. La demi-vie de l'iode 131 est d'environ $8$ jours.
3) $0{,}917^{t}\lt 0{,}1$ $\iff t\ln0{,}917\lt \ln0{,}1$ $\iff t\gt \dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}917}\approx26{,}6$ (on a divisé par $\ln0{,}917\lt 0$). Il reste moins de $10$ g à partir du $27^{\text{e}}$ jour.

✋ À TOI

Avec $M(t)=100\times0{,}917^{t}$, calculer une valeur approchée de $M(16)$. Pourquoi pouvait-on prévoir ce résultat ?

Voir la réponse

Réponse. $M(16)=100\times0{,}917^{16}\approx25$ g. C'est logique : $16$ jours font environ deux demi-vies, et la masse est divisée par $2$ puis encore par $2$.

🛠Carte : étudier une fonction avec expخريطة: كيف ندرس دالة تحتوي على exp؟

🛠 MÉTHODE

Je vois…	Je pense à…	Je conclus avec…
$e^{x}$, $\dfrac{e^{x}}{x^{n}}$ ou $x^{n}e^{x}$	où va $x$ ?	limite de référence (citée)
$\dfrac{e^{ax}-1}{x}$ en $0$	faire apparaître $u=ax$	$\dfrac{e^{u}-1}{u}\to1$
$e^{x}-x$, $e^{2x}-e^{x}$ (indétermination)	factoriser par le terme dominant	une limite de référence
$\ln\left(e^{x}+1\right)$	factoriser par $e^{x}$	$x+\ln\left(1+e^{-x}\right)$
$e^{u}$ à dériver	$\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$	signe de $u'$ (car $e^{u}\gt 0$)
$u'e^{u}$ à primitiver	ajuster le coefficient	$e^{u}+c$, puis vérifier
$f(x)-(ax+b)$ avec une exponentielle	$e^{\dots}\gt 0$	signe du facteur restant : position
$a^{x}$ avec $0\lt a\lt 1$	$\ln a\lt 0$	fonction décroissante : le sens change

Dans tous les cas : une exponentielle est toujours strictement positive.

⬇️ Télécharger le cours en PDF 📄 Résumé du cours (PDF)

💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه

📐

Formules & règles à retenir

القوانين والقواعد الواجب تذكّرها

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Définition

$\exp$ est la réciproque de $\ln$ : pour $x$ réel et $y\gt 0$, $e^{x}=y\iff x=\ln y$. On a $e^{x}\gt 0$, $e^{0}=1$, $e^{1}=e\approx2{,}718$

Relations avec ln

$\ln\left(e^{x}\right)=x$ pour tout réel $x$ ; $e^{\ln y}=y$ pour tout $y\gt 0$ ; $e^{k\ln a}=a^{k}$ ($a\gt 0$)

Sens de variation

$\exp$ est strictement croissante : $e^{a}=e^{b}\iff a=b$ et $e^{a}\lt e^{b}\iff a\lt b$. $e^{x}\gt 1\iff x\gt 0$ et $e^{x}\lt 1\iff x\lt 0$

Propriétés algébriques

$e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ ; $e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}$ ; $e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$ ; $\left(e^{a}\right)^{r}=e^{ra}$ ($r$ rationnel) ; $\sqrt{e^{a}}=e^{a/2}$

Limites de référence

$\displaystyle\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{-\infty}e^{x}=0$ ; $\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}$ $=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{-\infty}x^{n}e^{x}=0$ ($n\in\mathbb N^*$) ; $\displaystyle\lim_{0}\dfrac{e^{x}-1}{x}$ $=1$

Dérivées

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ ; $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ ; $\left(a^{x}\right)'=(\ln a)\,a^{x}$. Tangente en $0$ : $y=x+1$, et $e^{x}\geq x+1$ pour tout $x$

Primitives de u′eᵘ

Les primitives de $u'e^{u}$ sont $e^{u}+c$. Pour $a$ réel non nul : une primitive de $e^{ax+b}$ est $\dfrac1a\,e^{ax+b}$

Courbe de exp

Asymptote $y=0$ en $-\infty$ ; branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$ ; convexe ; symétrique de la courbe de $\ln$ par rapport à $y=x$

Méthode : équation ou inéquation avec exp

$e^{u}=k$ : $u=\ln k$ si $k\gt 0$, aucune solution si $k\leq0$. Avec $e^{2x}$ et $e^{x}$ : poser $X=e^{x}$, garder $X\gt 0$, puis revenir à $x$. Diviser par un négatif change le sens

Méthode : étudier une fonction avec exp

$e^{u}$ a le même sens de variation que $u$ ; $e^{\dots}\gt 0$ ne change pas le signe d'un produit ; indéterminations : regarder où tend l'exposant, factoriser par le terme dominant

Base a et demi-vie

$a^{x}=e^{x\ln a}$ ($a\gt 0$, $a$ différent de $1$) : croissante si $a\gt 1$, décroissante si $0\lt a\lt 1$ ; $a^{x}=b$ $\iff x=\dfrac{\ln b}{\ln a}$. Demi-vie de $M_0e^{-\lambda t}$ : $T=\dfrac{\ln2}{\lambda}$

⚠️

Attention aux erreurs

انتبه للأخطاء

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Écrire $\left(e^{x}\right)^{2}=e^{x^{2}}$.$\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}$. Pour $x=3$ : $e^{6}$ et non $e^{9}$.

Résoudre $e^{x}=-2$ en écrivant $x=\ln(-2)$.$e^{x}\gt 0$ pour tout réel $x$ : l'équation n'a aucune solution, et $\ln(-2)$ n'existe pas.

Résoudre $e^{2x}-3e^{x}+2\lt 0$ et répondre $S=\mathopen{]}1\,;2\mathclose{[}$.$1\lt X\lt 2$ porte sur $X=e^{x}$. On revient à $x$ : $1\lt e^{x}\lt 2\iff0\lt x\lt \ln2$, donc $S=\mathopen{]}0\,;\ln2\mathclose{[}$.

Écrire $\left(e^{3x}\right)'=e^{3x}$.$\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ : $\left(e^{3x}\right)'=3e^{3x}$.

Donner $e^{2x}$ comme primitive de $e^{2x}$.En dérivant $e^{2x}$, on obtient $2e^{2x}$. Une primitive est $\dfrac12e^{2x}$ : on vérifie toujours en dérivant.

Croire que $x\mapsto\left(\dfrac12\right)^{x}$ est croissante.Si $0\lt a\lt 1$, $\ln a\lt 0$ et $a^{x}$ est décroissante : $\left(\dfrac12\right)^{1}$ $=\dfrac12\gt \dfrac14$ $=\left(\dfrac12\right)^{2}$. Dans une inéquation, le sens change.

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Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية

🔵 Application تطبيق · 8

🟡 Médium متوسط · 7 🎁

🟠 Avancé متقدّم · 5 🔒

Exercice 1

🔵 Application · Libre

Simplifier : 1) $A=\dfrac{e^{3}\times e^{-5}}{e^{-2}}$ ; 2) $B=e^{2\ln3-\ln2}$ ; 3) $C=\ln\sqrt e+\ln\dfrac1{e^{3}}$ ; 4) $D$ $=\dfrac{\left(e^{x}\right)^{3}\times e^{-2x}}{e^{x+1}}$ pour $x$ réel.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : on regroupe les exposants avec $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ et $e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$, et on utilise $e^{\ln y}=y$, $\ln\left(e^{x}\right)=x$.

1) $A=e^{3-5-(-2)}=e^{0}=1$.

2) $B$ $=\dfrac{e^{2\ln3}}{e^{\ln2}}$ $=\dfrac{e^{\ln9}}{2}$ $=\dfrac92$.

3) $C$ $=\ln\left(e^{1/2}\right)+\ln\left(e^{-3}\right)$ $=\dfrac12-3$ $=-\dfrac52$.

4) $D$ $=\dfrac{e^{3x}\times e^{-2x}}{e^{x+1}}$ $=\dfrac{e^{x}}{e^{x+1}}$ $=e^{x-(x+1)}$ $=e^{-1}$.

Conclusion : $A=1$, $B=\dfrac92$, $C=-\dfrac52$ et $D=\dfrac1e$ (ne dépend pas de $x$).

Exercice 2

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $e^{x+3}=1$ ; 2) $e^{2x-1}=5$ ; 3) $e^{x^{2}}=e^{x+2}$ ; 4) $e^{x}+1=0$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : $e^{u}=e^{v}\iff u=v$, et $e^{u}=k\iff u=\ln k$ si $k\gt 0$ (aucune solution si $k\leq0$).

1) $1=e^{0}$, donc $x+3=0$, soit $x=-3$.

2) $2x-1=\ln5$, soit $x=\dfrac{1+\ln5}2$.

3) $x^{2}=x+2$ $\iff x^{2}-x-2=0$ $\iff(x+1)(x-2)=0$, donc $x=-1$ ou $x=2$.

4) $e^{x}=-1$ est impossible, car $e^{x}\gt 0$.

Conclusion : 1) $S=\{-3\}$ ; 2) $S=\left\{\dfrac{1+\ln5}2\right\}$ ; 3) $S=\{-1\,;2\}$ ; 4) $S=\varnothing$.

Exercice 3

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $e^{3x-2}\leq1$ ; 2) $e^{1-2x}\gt e^{x+4}$ ; 3) $2e^{x}-6\geq0$ ; 4) $\left(e^{x}-1\right)(x-2)\lt 0$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : $\exp$ est strictement croissante : $e^{u}\lt e^{v}\iff u\lt v$, et $e^{u}\geq k\iff u\geq\ln k$ pour $k\gt 0$.

1) $e^{3x-2}\leq e^{0}$ $\iff3x-2\leq0$ $\iff x\leq\dfrac23$.

2) $1-2x\gt x+4$ $\iff-3x\gt 3$ $\iff x\lt -1$ (on a divisé par $-3$ : le sens change).

3) $e^{x}\geq3\iff x\geq\ln3$.

4) $e^{x}-1$ a le signe de $x$ (partie 3 du cours). Tableau de signes : le produit $\left(e^{x}-1\right)(x-2)$ est négatif lorsque les deux facteurs sont de signes contraires, c'est-à-dire pour $0\lt x\lt 2$.

Conclusion : 1) $S$ $=\mathopen{]}-\infty\,;\dfrac23\mathclose{]}$ ; 2) $S=\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}$ ; 3) $S$ $=\mathopen{[}\ln3\,;+\infty\mathclose{[}$ ; 4) $S=\mathopen{]}0\,;2\mathclose{[}$.

Exercice 4

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Calculer : 1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(e^{x}+x^{2}-3\right)$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left[(x+2)e^{x}+1\right]$ ; 3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}$ ; 4) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Pas d'indétermination : $e^{x}\to+\infty$ et $x^{2}\to+\infty$, donc la somme tend vers $+\infty$.

2) $(x+2)e^{x}=xe^{x}+2e^{x}$ : $xe^{x}\to0$ (limite de référence) et $e^{x}\to0$. La limite est $0+1=1$.

3) Limite de référence $\dfrac{e^{x}}{x^{n}}\to+\infty$ avec $n=2$.

4) $-x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$.

Conclusion : Les limites valent $+\infty$, $1$, $+\infty$ et $+\infty$.

Exercice 5

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Calculer la dérivée de : 1) $f(x)=(2x+1)e^{x}$ ; 2) $g(x)=e^{-x^{2}+x}$ ; 3) $h(x)=\dfrac{x}{e^{x}}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Produit : $f'(x)=2e^{x}+(2x+1)e^{x}=(2x+3)e^{x}$.

2) $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ avec $u(x)=-x^{2}+x$, $u'(x)=-2x+1$ : $g'(x)=(1-2x)e^{-x^{2}+x}$.

3) On écrit $h(x)=xe^{-x}$ : $h'(x)$ $=e^{-x}+x\times\left(-e^{-x}\right)$ $=(1-x)e^{-x}$.

Conclusion : $f'(x)=(2x+3)e^{x}$, $g'(x)=(1-2x)e^{-x^{2}+x}$ et $h'(x)=(1-x)e^{-x}$.

Exercice 6

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1) Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=e^{3x}+2x$ sur $\mathbb R$ telle que $F(0)=1$.
2) Déterminer une primitive de $g(x)=(2x+1)e^{x^{2}+x}$, puis de $h(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Une primitive de $e^{3x}$ est $\dfrac13e^{3x}$, et une primitive de $2x$ est $x^{2}$. Donc $F(x)=\dfrac13e^{3x}+x^{2}+c$. Or $F(0)=\dfrac13+c=1$, d'où $c=\dfrac23$.

2) $u(x)=x^{2}+x$ a pour dérivée $u'(x)=2x+1$ : $g=u'e^{u}$, de primitive $e^{x^{2}+x}$.

$h$ n'est pas de la forme $u'e^{u}$ : avec $v(x)=e^{x}+2\gt 0$, $h=\dfrac{v'}{v}$ (chapitre 5), de primitive $\ln\left(e^{x}+2\right)$.

Vérification : $\left(\ln\left(e^{x}+2\right)\right)'$ $=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+2}$.

Conclusion : $F(x)=\dfrac13e^{3x}+x^{2}+\dfrac23$ ; primitives : $e^{x^{2}+x}$ et $\ln\left(e^{x}+2\right)$.

Exercice 7

🔵 Application · Libre

Déterminer l'ensemble de définition de : 1) $f(x)=e^{\frac1{x-1}}$ ; 2) $g(x)=\ln\left(e^{x}-1\right)$ ; 3) $h(x)=\dfrac1{e^{2x}-e}$ ; 4) $k(x)=\sqrt{e^{x}-2}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $e^{u}$ existe dès que $u$ existe : il faut $x\neq1$.

2) Il faut $e^{x}-1\gt 0$, soit $e^{x}\gt 1$, soit $x\gt 0$.

3) Il faut $e^{2x}\neq e^{1}$, soit $2x\neq1$, soit $x\neq\dfrac12$.

4) Il faut $e^{x}-2\geq0$, soit $x\geq\ln2$.

Conclusion : $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ ; $D_g=\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ ; $D_h$ $=\mathbb R\setminus\left\{\dfrac12\right\}$ ; $D_k$ $=\mathopen{[}\ln2\,;+\infty\mathclose{[}$.

Exercice 8

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $2^{x}=5$ ; 2) $3^{x+1}=81$ ; 3) $0{,}5^{x}\geq0{,}125$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : $a^{x}=e^{x\ln a}$ ; on prend le logarithme, et on se souvient qu'une exponentielle de base $a\lt 1$ est décroissante.

1) $x\ln2=\ln5$, donc $x=\dfrac{\ln5}{\ln2}\approx2{,}32$.

2) $81=3^{4}$, donc $x+1=4$, soit $x=3$.

3) $0{,}125=0{,}5^{3}$. La fonction $x\mapsto0{,}5^{x}$ est décroissante ($\ln0{,}5\lt 0$) : $0{,}5^{x}\geq0{,}5^{3}\iff x\leq3$.

Conclusion : 1) $x=\dfrac{\ln5}{\ln2}$ ; 2) $x=3$ ; 3) $S=\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{]}$.

Exercice 1

🟡 Médium

Résoudre dans $\mathbb R^{2}$ : 1) $\begin{cases}e^{x}+e^{y}=5\\ e^{2x}-e^{2y}=15\end{cases}$ ; 2) $\begin{cases}x-y=\ln2\\ e^{x}+e^{y}=6\end{cases}$.

✓ Correction