Suites numériques
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📐 Analyse · Chapitre 3 · التحليل
Suites numériquesالمتتاليات العددية
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Objectifs du programme officiel
أهداف البرنامج الرسمي
- Utiliser les suites géométriques et les suites arithmétiques pour étudier des exemples de suites de la forme $u_{n+1}=au_n+b$ ou $u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}$
- Utiliser les limites des suites de référence et les critères de convergence pour déterminer la limite d'une suite numérique
- Déterminer la limite de la composée d'une suite et d'une fonction continue : suites du type $v_n=f(u_n)$
- Étudier la convergence d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est continue sur un intervalle $I$ avec $f(I)\subset I$, et déterminer sa limite
- Utiliser les suites pour résoudre des problèmes variés issus de domaines différents
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Vidéo du cours
فيديو الدرس
Capsule 1/5 : Majorée, minorée, bornée, monotoneSous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube
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Le cours
الدرس
💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق
Karim place $10\,000$ DH sur un compte qui rapporte $4\,\%$ d'intérêts par an. Chaque année, son capital est multiplié par $1{,}04$. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé son capital ? Que devient le capital après de très nombreuses années ? Ce chapitre donne les outils pour répondre : suites géométriques, limites et convergence.
🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الدرس
- Utiliser les suites arithmétiques et géométriques pour étudier des suites $u_{n+1}=au_n+b$ et $u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}$.
- Déterminer la limite d'une suite avec les suites de référence et les critères de convergence.
- Déterminer la limite de $f(u_n)$ lorsque $f$ est continue.
- Étudier la convergence d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ et calculer sa limite.
Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.
📘1. Rappels : suites majorées, minorées, bornées, monotones🎬 capsule 1تذكير : متتالية مكبورة، مصغورة، محدودة، رتيبة
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Majorée, minorée, bornée, monotone· 5 min · sous-titres disponibles📘 DÉFINITIONS
Soit $(u_n)_{n\ge n_0}$ une suite numérique et $I=\{n\in\mathbb{N}\,/\,n\ge n_0\}$.
- $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $(\forall n\in I)\ u_n\le M$.
- $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $(\forall n\in I)\ u_n\ge m$.
- $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée ; c'est le cas dès qu'il existe $S\ge0$ tel que $|u_n|\le S$.
- $(u_n)$ est croissante si $(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n\ge0$, décroissante si $u_{n+1}-u_n\le0$.
- Si $u_n\gt 0$ : $(u_n)$ est croissante $\iff \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge1$.
⚠️ ATTENTION
les réels $M$ et $m$ sont des constantes, ils ne dépendent pas de $n$. Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Soit $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante et bornée.
Solution. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\gt 0$, donc $(u_n)$ est croissante.
De plus $u_n\ge0$ et $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}\lt 1$ : on a $0\le u_n\lt 1$, donc $(u_n)$ est bornée.
De plus $u_n\ge0$ et $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}\lt 1$ : on a $0\le u_n\lt 1$, donc $(u_n)$ est bornée.
🛠2. Méthode : le raisonnement par récurrence🎬 capsule 2طريقة : الاستدلال بالترجع
▶ Regarder la capsule 2/5
Le raisonnement par récurrence· 4 min · sous-titres disponibles🛠 MÉTHODE
Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$ :
- Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
- Hérédité : soit $n\ge n_0$ ; supposer $P(n)$ vraie et démontrer $P(n+1)$.
- Conclusion : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.
✏️ EXEMPLE TYPE EXAMEN
montrer que $2\le u_n\le4$ quand $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ : on part de $2\le u_n\le4$, on encadre $1+u_n$, puis $\dfrac{6}{1+u_n}$, puis $u_{n+1}$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Fil conducteur. Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$. Montrer que $0\le u_n\le 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Solution. Initialisation : $u_0=0$ et $0\le 0\le 2$.
Hérédité : supposons $0\le u_n\le 2$. Alors $2\le 2+u_n\le 4$, donc $\sqrt2\le\sqrt{2+u_n}\le 2$, c'est-à-dire $\sqrt2\le u_{n+1}\le 2$ ; en particulier $0\le u_{n+1}\le 2$.
Conclusion : $0\le u_n\le 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Hérédité : supposons $0\le u_n\le 2$. Alors $2\le 2+u_n\le 4$, donc $\sqrt2\le\sqrt{2+u_n}\le 2$, c'est-à-dire $\sqrt2\le u_{n+1}\le 2$ ; en particulier $0\le u_{n+1}\le 2$.
Conclusion : $0\le u_n\le 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
📐3. Suites arithmétiques et géométriques🎬 capsule 3المتتاليات الحسابية والهندسية
▶ Regarder la capsule 3/5
Suites arithmétiques, géométriques et limites· 5 min · sous-titres disponibles📐 PROPRIÉTÉS
| Arithmétique de raison $r$ | Géométrique de raison $q$ | |
|---|---|---|
| Définition | $u_{n+1}=u_n+r$ | $u_{n+1}=q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n=u_p+(n-p)r$ | $u_n=u_p\,q^{\,n-p}$ |
| Somme $u_p+\dots+u_n$ | $\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$ | $u_p\,\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}\ (q\ne1)$ |
| Trois termes consécutifs $x,y,z$ | $2y=x+z$ | $y^2=xz$ |
Dans les deux sommes, $n-p+1$ est le nombre de termes.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Soit $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n$. Exprimer $u_n$ puis $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$ en fonction de $n$.
Solution. $(u_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=3$, donc $u_n=3\times2^n$.
$S_n$ compte $n+1$ termes : $S_n=u_0\,\dfrac{1-2^{\,n+1}}{1-2}=3\left(2^{\,n+1}-1\right)$. Vérification : $S_1=3+6=9=3(4-1)$.
$S_n$ compte $n+1$ termes : $S_n=u_0\,\dfrac{1-2^{\,n+1}}{1-2}=3\left(2^{\,n+1}-1\right)$. Vérification : $S_1=3+6=9=3(4-1)$.
📐4. Limites des suites de référenceنهايات المتتاليات المرجعية
📐 PROPRIÉTÉS
Pour $p\in\mathbb{N}^*$ et $k\in\mathbb{R}$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^p=+\infty$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{k}{n^p}=0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{k}{\sqrt n}=0$.
Pour $r\in\mathbb{Q}^*$ : si $r\gt 0$, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^r=+\infty$ ; si $r\lt 0$, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^r=0$.
Les opérations sur les limites de fonctions (somme, produit, quotient, formes indéterminées) restent valables pour les suites.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-n}{n^2+1}$.
Solution. On factorise par $n^2$ : $\dfrac{3n^2-n}{n^2+1}=\dfrac{3-\frac1n}{1+\frac{1}{n^2}}$.
Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-n}{n^2+1}=\dfrac{3}{1}=3$.
Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-n}{n^2+1}=\dfrac{3}{1}=3$.
⭐5. Limite de la suite $(q^n)$نهاية متتالية هندسية
⭐ À RETENIR
- Si $q\gt 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$.
- Si $q=1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=1$.
- Si $-1\lt q\lt 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$.
- Si $q\le-1$ : la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
✏️ EXEMPLE
$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac23\right)^n=0$ ; $\dfrac{4^n}{3^{2n}}=\left(\dfrac49\right)^n$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4^n}{3^{2n}}=0$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3^n-2^n\right)$.
Solution. Forme $+\infty-\infty$ : on factorise par $3^n$. $3^n-2^n=3^n\left(1-\left(\dfrac23\right)^n\right)$.
$3\gt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ ; $-1\lt\dfrac23\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac23\right)^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3^n-2^n\right)=+\infty$.
$3\gt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ ; $-1\lt\dfrac23\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac23\right)^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3^n-2^n\right)=+\infty$.
📘6. Convergence et limite🎬 capsule 4التقارب والنهاية
▶ Regarder la capsule 4/5
Convergence : comparaison et suites monotones· 5 min · sous-titres disponibles📘 DÉFINITIONS
Une suite est convergente si elle admet une limite finie $\ell$ ; sinon elle est divergente (limite infinie ou pas de limite). La limite, quand elle existe, est unique.
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell \iff \lim\limits_{n\to+\infty} (u_n-\ell)=0 \iff \lim\limits_{n\to+\infty}|u_n-\ell|=0$.
Passage à la limite dans une inégalité : si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$. Une inégalité stricte devient large : $u_n\lt 2$ donne seulement $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\le2$.
🏛7. Critères de convergence (comparaison)معايير التقارب (المقارنة)
🏛 THÉORÈME
À partir d'un certain rang :
- si $u_n\ge v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$ ;
- si $u_n\le v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=-\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$ ;
- Gendarmes : si $w_n\le u_n\le v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$ ;
- si $|u_n-\ell|\le v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$.
🛠 MÉTHODE TYPE EXAMEN
montrer $|u_{n+1}-\ell|\le k|u_n-\ell|$ avec $0\lt k\lt 1$, en déduire par récurrence $|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|$, puis conclure car $\lim\limits_{n\to+\infty} k^n=0$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(n+\cos n\right)$.
Solution. $\left|\dfrac{(-1)^n}{n}-0\right|=\dfrac1n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=0$.
Comme $\cos n\ge-1$, on a $n+\cos n\ge n-1$ ; or $\lim\limits_{n\to+\infty}(n-1)=+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(n+\cos n\right)=+\infty$.
Comme $\cos n\ge-1$, on a $n+\cos n\ge n-1$ ; or $\lim\limits_{n\to+\infty}(n-1)=+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(n+\cos n\right)=+\infty$.
🏛8. Suite monotone et bornéeمتتالية رتيبة ومحدودة
🏛 THÉORÈME
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
⚠️ ATTENTION
ce théorème donne la convergence, pas la valeur de la limite. Une suite croissante majorée par $5$ converge vers une limite $\ell\le5$, pas forcément égale à $5$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Fil conducteur (suite). Avec $u_0=0$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ et $0\le u_n\le2$, montrer que $(u_n)$ converge.
Solution. $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2+u_n}-u_n=\dfrac{2+u_n-u_n^2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}=\dfrac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2+u_n}+u_n}$.
Comme $0\le u_n\le 2$ : $2-u_n\ge0$, $1+u_n\gt 0$ et $\sqrt{2+u_n}+u_n\gt 0$. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ : $(u_n)$ est croissante.
$(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle est convergente.
Comme $0\le u_n\le 2$ : $2-u_n\ge0$, $1+u_n\gt 0$ et $\sqrt{2+u_n}+u_n\gt 0$. Donc $u_{n+1}-u_n\ge0$ : $(u_n)$ est croissante.
$(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle est convergente.
📐9. Suites $v_n=f(u_n)$ et $u_{n+1}=f(u_n)$🎬 capsule 5متتاليات مرتبطة بدالة
▶ Regarder la capsule 5/5
Suites récurrentes et suite auxiliaire· 5 min · sous-titres disponibles📐 PROPRIÉTÉS
Suite $v_n=f(u_n)$ : si $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} f(u_n)=f(\ell)$. Exemple : $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\dfrac{3n-4}{2n+1}}=\sqrt{\dfrac32}$.
Suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ : si $f$ est continue sur un intervalle $I$, si $f(I)\subset I$, si $u_{n_0}\in I$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$, alors $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ dans $I$.
⚠️ ATTENTION
on ne résout $f(\ell)=\ell$ qu'après avoir démontré la convergence, et on garde la solution compatible avec l'encadrement de $(u_n)$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Fil conducteur (fin). Calculer la limite $\ell$ de la suite $u_0=0$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
Solution. $f(x)=\sqrt{2+x}$ est continue sur $I=[0,2]$, $f(I)=[\sqrt2,2]\subset I$, $u_0\in I$ et $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$.
Donc $f(\ell)=\ell$ : $\sqrt{2+\ell}=\ell$, d'où $\ell^2-\ell-2=0$, soit $(\ell-2)(\ell+1)=0$.
Comme $\ell\ge0$, on retient $\ell=2$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.
Donc $f(\ell)=\ell$ : $\sqrt{2+\ell}=\ell$, d'où $\ell^2-\ell-2=0$, soit $(\ell-2)(\ell+1)=0$.
Comme $\ell\ge0$, on retient $\ell=2$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.
🛠10. Méthode : suite auxiliaireطريقة : المتتالية المساعدة
🛠 MÉTHODE
Pour $u_{n+1}=au_n+b$ ou $u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}$, l'énoncé propose une suite auxiliaire $(v_n)$ :
- Calculer $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
- Faire apparaître $v_{n+1}=q\,v_n$ (géométrique) ou $v_{n+1}=v_n+r$ (arithmétique).
- Écrire $v_n$ en fonction de $n$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
- Conclure sur la limite de $(u_n)$ avec la limite de $q^n$.
✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir
Soit $u_0=0$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+1$ et $v_n=u_n-2$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$.
Solution. $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\dfrac12u_n-1=\dfrac12\left(u_n-2\right)=\dfrac12v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$, avec $v_0=-2$.
Donc $v_n=-2\left(\dfrac12\right)^n$ et $u_n=v_n+2=2-2\left(\dfrac12\right)^n$.
$-1\lt\dfrac12\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.
Donc $v_n=-2\left(\dfrac12\right)^n$ et $u_n=v_n+2=2-2\left(\dfrac12\right)^n$.
$-1\lt\dfrac12\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.
💡
L'essentiel à maîtriser
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Suite arithmétique · الحد العام لمتتالية عددية
$u_n=u_p+(n-p)r$ ; $u_p+\dots+u_n=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$
Suite géométrique · الحد العام لمتتالية هندسية
$u_n=u_p\,q^{n-p}$ ; $u_p+\dots+u_n=u_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
Limite de $q^n$
$q\gt 1:+\infty$ ; $-1\lt q\lt 1:0$ ; $q\le-1$ : pas de limite
Gendarmes
$w_n\le u_n\le v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\ell\Rightarrow\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$
Convergence monotone
croissante + majorée (ou décroissante + minorée) $\Rightarrow$ convergente
Suite récurrente
$f$ continue, $f(I)\subset I$, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell\in I\Rightarrow f(\ell)=\ell$
⚠️
Attention aux erreurs
انتبه للأخطاء
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3 min · sous-titres disponiblesSous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube
✕
« Croissante et majorée par $M$, donc elle converge vers $M$. ».Elle converge vers une limite $\ell\le M$, pas forcément $M$.
✕
« $u_n\lt 2$ pour tout $n$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\lt 2$. ».Le passage à la limite donne seulement $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\le2$.
✕
« $q\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$. ».Il faut $-1\lt q\lt 1$ ; pour $q\le-1$, $(q^n)$ n'a pas de limite.
✕
Oublier l'initialisation dans une récurrence.Toujours rédiger les trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion.
✕
Résoudre $f(\ell)=\ell$ et garder une solution incompatible avec l'encadrement.Retenir la solution qui respecte l'encadrement démontré (ex. $\ell\ge0$).
✅
Quiz de compréhension
رائز الفهم
Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]
A
[Réponse A]
B
[Réponse B — correcte]
C
[Réponse C]
D
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Exercices d'entraînement
تمارين تطبيقية
🔵 Application تطبيق · 7
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🟠 Avancé متقدّم · 4 🔒
Exercice 1
🔵 Application · LibreDéterminer la limite de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants : 1) $u_n=\dfrac{3n^2-1}{n^2}$ ; 2) $u_n=\dfrac{n^2+4}{3n^2+1}$ ; 3) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ ; 4) $u_n=\dfrac{n+\sqrt n}{n-\sqrt n}$ $(n\ge2)$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
1) $u_n=3-\dfrac1{n^2}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n^2}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=3$.
2) Quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{n^2}{3n^2}=\dfrac13$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\dfrac13$.
3) Forme « $\infty-\infty$ » : on multiplie par l'expression conjuguée. $u_n=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$.
4) Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » : on factorise par $n$. $u_n=\dfrac{1+\frac{1}{\sqrt n}}{1-\frac{1}{\sqrt n}}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{\sqrt n}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=1$.
Conclusion : Les limites sont $3$ ; $\dfrac13$ ; $0$ ; $1$.
Exercice 2
🔵 Application · LibreDéterminer la limite de la suite $(u_n)$ : 1) $u_n=2^n-5^n$ ; 2) $u_n=\dfrac{2^n-5^n}{2+5^n}$ ; 3) $u_n=\dfrac{9^n}{(9{,}1)^n}$ ; 4) $u_n=\left(\dfrac{3-\sqrt3}{4-\sqrt2}\right)^n$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
Outil : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$ si $q\gt1$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1\lt q\lt1$.
1) On factorise par le terme dominant : $u_n=5^n\left(\left(\dfrac25\right)^n-1\right)$. Comme $5\gt1$, $\lim\limits_{n\to+\infty} 5^n=+\infty$ ; comme $-1\lt\dfrac25\lt1$, $\left(\dfrac25\right)^n\to0$, donc la parenthèse tend vers $-1$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.
2) On divise numérateur et dénominateur par $5^n$ : $u_n=\dfrac{\left(\frac25\right)^n-1}{2\left(\frac15\right)^n+1}$, qui tend vers $\dfrac{0-1}{0+1}=-1$.
3) $u_n=\left(\dfrac{9}{9{,}1}\right)^n$ avec $0\lt\dfrac9{9{,}1}\lt1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$.
4) Comme $\sqrt2\lt\sqrt3$ et $3\lt4$, on a $0\lt3-\sqrt3\lt4-\sqrt3\lt4-\sqrt2$, donc $0\lt q=\dfrac{3-\sqrt3}{4-\sqrt2}\lt1$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$.
Conclusion : Les limites sont $-\infty$ ; $-1$ ; $0$ ; $0$.
Exercice 3
🔵 Application · Libre$(u_n)_{n\ge0}$ est une suite arithmétique telle que $u_3=11$ et $u_7=23$. 1) Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$. 2) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 3) Calculer $S=u_0+u_1+\dots+u_{20}$. 4) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
1) Propriété : $u_n=u_p+(n-p)r$. Donc $u_7=u_3+4r$, soit $23=11+4r$ et $r=3$. Puis $u_0=u_3-3r=11-9=2$.
2) $u_n=u_0+nr=2+3n$.
3) $S$ compte $20-0+1=21$ termes. $u_{20}=2+60=62$. Donc $S=\dfrac{21\,(u_0+u_{20})}{2}=\dfrac{21\times64}{2}=672$.
4) $r=3\gt 0$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}(2+3n)=+\infty$.
Conclusion : $r=3$, $u_0=2$, $u_n=2+3n$, $S=672$, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
Exercice 4
🔵 Application · LibreSoit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=5$ et $v_{n+1}=\dfrac12v_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. 1) Justifier que $(v_n)$ est géométrique et exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 2) Calculer $S_n=v_0+v_1+\dots+v_n$. 3) Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
1) $v_{n+1}=\dfrac12v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac12$ et de premier terme $v_0=5$. Donc $v_n=5\left(\dfrac12\right)^n$.
2) $S_n$ compte $n+1$ termes : $S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=5\cdot\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{\frac12}=10\left(1-\left(\dfrac12\right)^{n+1}\right)$.
3) $-1\lt \dfrac12\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n=10$.
Conclusion : $v_n=5\left(\frac12\right)^n$, $S_n=10\left(1-\left(\frac12\right)^{n+1}\right)$, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$, $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n=10$.
Exercice 5
🔵 Application · LibreSoit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$ pour tout $n\in\mathbb N$. 1) Montrer par récurrence que $u_n\lt6$ pour tout $n$. 2) Montrer que $(u_n)$ est croissante. 3) En déduire que $(u_n)$ est convergente.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
1) Initialisation : $u_0=2\lt6$. Hérédité : si $u_n\lt6$, alors $\dfrac12u_n\lt3$, donc $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3\lt6$. Conclusion : $u_n\lt6$ pour tout $n\in\mathbb N$.
2) $u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n=\dfrac12(6-u_n)\gt0$ d'après 1). La suite est (strictement) croissante.
3) $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$, donc elle est convergente. Attention : cela prouve que sa limite $\ell$ vérifie $\ell\le6$, pas que $\ell=6$ ; pour la calculer, on utilise la suite $v_n=u_n-6$.
Conclusion : $(u_n)$ est croissante, majorée par $6$, donc convergente.
Exercice 6
🔵 Application · Libre1) Déterminer la limite de $u_n=5+\dfrac{\cos n}{n^3}$ $(n\ge1)$. 2) Soient $a_n=\sqrt{16n^2+2}$ et $b_n=4n$. a) Montrer que $a_n\ge b_n$ pour tout $n$. b) En déduire la limite de $(a_n)$. 3) Soit $w_n=-2n+\cos n+1$. a) Montrer que $w_n\le-2n+2$ pour tout $n$. b) En déduire la limite de $(w_n)$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
1) $\left|u_n-5\right|=\dfrac{|\cos n|}{n^3}\le\dfrac1{n^3}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n^3}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=5$.
2) a) $16n^2+2\ge16n^2$ et les deux nombres sont positifs, donc $\sqrt{16n^2+2}\ge\sqrt{16n^2}=4n$. b) $\lim\limits_{n\to+\infty} 4n=+\infty$ et $a_n\ge b_n$ : par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=+\infty$.
3) a) $\cos n\le1$, donc $w_n\le-2n+2$. b) $\lim\limits_{n\to+\infty}(-2n+2)=-\infty$ et $w_n\le-2n+2$ : par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=-\infty$.
Conclusion : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=5$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=+\infty$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=-\infty$.
Exercice 7
🔵 Application · LibreDéterminer la limite de : 1) $u_n=\sqrt{\dfrac{3n-4}{2n+1}}$ ; 2) $u_n=\cos\left(\dfrac{n\pi-3}{2n+1}\right)$.
✓ Correction écrite
✓ Correction détaillée
Propriété : si $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\ell$ et $f$ continue en $\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} f(v_n)=f(\ell)$.
1) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n-4}{2n+1}=\dfrac32$ et $x\mapsto\sqrt x$ est continue en $\dfrac32$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}$.
2) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\pi-3}{2n+1}=\dfrac{\pi}{2}$ et $\cos$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.
Conclusion : $\dfrac{\sqrt6}{2}$ ; $0$.
🎓
Le chapitre à l'examen national
الدرس في الامتحان الوطني
Examen national du baccalauréat — 2024, session normale — Mathématiques, Sciences expérimentales (PC et SVT) — Exercice 1 (3 points)
🎓 Sujet officielOn considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
1) a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt)
b) Montrer par récurrence que $2\le u_n\le4$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
2) a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt)
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
3) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par $v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac23$. (0,5 pt)
b) Montrer que $u_n=1+\dfrac{1}{1-\left(\frac23\right)^{n+1}}$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
1) a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\dfrac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt)
b) Montrer par récurrence que $2\le u_n\le4$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
2) a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt)
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
3) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par $v_n=\dfrac{2-u_n}{1-u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac23$. (0,5 pt)
b) Montrer que $u_n=1+\dfrac{1}{1-\left(\frac23\right)^{n+1}}$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
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[{"question": "Quelle est la limite de $\\left(\\dfrac23\\right)^n$ ?", "optA": "$0$", "optB": "$+\\infty$", "optC": "$\\dfrac23$", "optD": "Pas de limite", "correct": "A", "notion": "N04-07", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Oui : $-1\\lt \\dfrac23\\lt 1$ donc $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} q^n=0$.", "feedback_incorrect": "Pour $-1\\lt q\\lt 1$, $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} q^n=0$."}, {"question": "La suite $\\left((-2)^n\\right)$ :", "optA": "tend vers $+\\infty$", "optB": "tend vers $-\\infty$", "optC": "tend vers $0$", "optD": "n'a pas de limite", "correct": "D", "notion": "N04-07", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : pour $q\\le-1$, $(q^n)$ alterne de signe et n'a pas de limite.", "feedback_incorrect": "Les termes changent de signe : $1,-2,4,-8,\\dots$ Pour $q\\le-1$, pas de limite."}, {"question": "$(u_n)$ est arithmétique, $u_0=5$ et $r=-2$. Que vaut $u_{10}$ ?", "optA": "$-15$", "optB": "$-17$", "optC": "$25$", "optD": "$-25$", "correct": "A", "notion": "N04-04", "niveau": "facile", "feedback_correct": "$u_{10}=u_0+10r=5-20=-15$.", "feedback_incorrect": "Utiliser $u_n=u_0+nr$ avec $n=10$ : $5+10\\times(-2)$."}, {"question": "Que vaut $1+2+4+\\dots+2^{10}$ ?", "optA": "$2047$", "optB": "$1023$", "optC": "$2048$", "optD": "$1024$", "correct": "A", "notion": "N04-05", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Il y a $11$ termes : $\\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2047$.", "feedback_incorrect": "Attention au nombre de termes : de $2^0$ à $2^{10}$, il y en a $11$."}, {"question": "$\\displaystyle\\lim_{n\\to+\\infty}\\frac{2n+1}{n+3}$ vaut :", "optA": "$2$", "optB": "$\\dfrac13$", "optC": "$+\\infty$", "optD": "$0$", "correct": "A", "notion": "N04-06", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Quotient des termes de plus haut degré : $\\dfrac{2n}{n}=2$.", "feedback_incorrect": "Garder les termes de plus haut degré : $\\dfrac{2n}{n}$."}, {"question": "$(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. Alors :", "optA": "elle converge vers une limite $\\ell\\le5$", "optB": "elle converge vers $5$", "optC": "elle diverge", "optD": "on ne peut rien dire", "correct": "A", "notion": "N04-10", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : convergence assurée, limite $\\le5$ mais pas forcément égale à $5$.", "feedback_incorrect": "Le théorème donne la convergence ; la limite est seulement $\\le5$."}, {"question": "$(u_n)$ est bornée. Peut-on conclure qu'elle converge ?", "optA": "Non, pas forcément", "optB": "Oui, toujours", "optC": "Oui, si elle est positive", "optD": "Oui, vers $0$", "correct": "A", "notion": "N04-08", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Exact : $(-1)^n$ est bornée et n'a pas de limite.", "feedback_incorrect": "Contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ est bornée mais diverge."}, {"question": "$(u_n)$ converge et $u_n\\lt 2$ pour tout $n$. Alors :", "optA": "$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n\\le2$", "optB": "$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n\\lt 2$", "optC": "$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n=2$", "optD": "$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n\\gt 2$", "correct": "A", "notion": "N04-08", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : le passage à la limite transforme $\\lt $ en $\\le$.", "feedback_incorrect": "Une inégalité stricte devient large à la limite : ex. $2-\\dfrac1n\\lt 2$ mais tend vers $2$."}, {"question": "Pour tout $n\\ge1$, $|u_n-1|\\le\\dfrac1n$. Alors $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n$ vaut :", "optA": "$1$", "optB": "$0$", "optC": "$+\\infty$", "optD": "on ne peut pas conclure", "correct": "A", "notion": "N04-09", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\dfrac1n=0$ donc $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}u_n=1$.", "feedback_incorrect": "Critère : $|u_n-\\ell|\\le v_n$ et $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}v_n=0$ donne $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n=\\ell$."}, {"question": "$u_0=0$, $u_{n+1}=\\sqrt{2+u_n}$ ; on admet que $(u_n)$ converge. Sa limite est :", "optA": "$2$", "optB": "$-1$", "optC": "$\\sqrt2$", "optD": "$0$", "correct": "A", "notion": "N04-12", "niveau": "difficile", "feedback_correct": "$\\ell=\\sqrt{2+\\ell}$ donne $\\ell=2$ ou $\\ell=-1$ ; or $u_n\\ge0$, donc $\\ell=2$.", "feedback_incorrect": "Résoudre $\\ell^2-\\ell-2=0$ puis garder la solution positive."}]