Limites et continuité

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2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques
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📐 Analyse · Chapitre 1 · التحليل

Limites et continuitéالنهايات والاتصال

🎓 2ème BAC Sciences Physiques
🎬 6 capsules vidéo (17 min) + 18 exercices
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Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي
00
  • Étudier la continuité d'une fonction numérique en un point en utilisant le calcul des limites
  • Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue ou par une fonction continue et strictement monotone
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour étudier certaines équations et inéquations ou le signe de certaines expressions
  • Prouver l'unicité de la solution de l'équation $f(x)=\lambda$ pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
  • Utiliser la méthode de dichotomie pour encadrer une solution
  • Connaître la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone, la racine n-ième et les puissances rationnelles
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Vidéo du cours

فيديو الدرس
01
Capsule 1/6 : Limites : formes indéterminées, trigonométrie, encadrementSous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube
Le cours en 6 capsules courtes · regarde-les dans l'ordre
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Le cours

الدرس
02
💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق
La température d'une salle varie sans saut : pour passer de $18$ °C à $22$ °C, elle passe par toutes les valeurs intermédiaires, par exemple $20$ °C. Sa courbe se trace « sans lever le crayon » : c'est une fonction continue.
Le prix d'un parking, lui, saute : $5$ DH pendant la première heure, puis $10$ DH dès que l'on dépasse une heure. Juste avant une heure, le prix vaut $5$ DH ; juste après, $10$ DH : la courbe présente un saut, la fonction n'est pas continue en $1$.
Dans ce chapitre, on traduit cette idée avec les limites, puis on en tire des théorèmes très utiles pour résoudre des équations.
🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل
  • Calculer des limites et lever les formes indéterminées.
  • Étudier la continuité d'une fonction en un point, à droite, à gauche et sur un intervalle.
  • Déterminer l'image d'un intervalle et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour résoudre des équations.
  • Montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque ; calculer avec les racines n-ièmes et les puissances rationnelles.
Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.
⭐1. Limites : rappels et formes indéterminées🎬 capsule 1النهايات: تذكير والأشكال غير المحددة
▶ Regarder la capsule 1/6
Limites : formes indéterminées, trigonométrie, encadrement· 3 min · sous-titres disponibles
⭐ À RETENIR
Polynômes et fonctions rationnelles : en un réel $a$ de l'ensemble de définition, on remplace : $\lim\limits_{x\to a} P(x)=P(a)$. En $+\infty$ ou $-\infty$, la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré ; celle d'une fonction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré.
Opérations : les règles sur la somme, le produit et le quotient donnent la limite, sauf dans les quatre formes indéterminées : $\infty-\infty$, $\;0\times\infty$, $\;\dfrac{\infty}{\infty}$, $\;\dfrac00$.
Pour lever une forme indéterminée : factoriser puis simplifier, ou multiplier par l'expression conjuguée quand il y a une racine carrée.
✏️ EXEMPLE
Calculer 1) $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ; 2) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$.
Solution. 1) Forme $\dfrac00$. Pour $x\ne2$ : $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, donc la limite vaut $4$.
2) Forme $\infty-\infty$. On multiplie par la conjuguée : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}$ pour $x\gt0$. Donc la limite vaut $\dfrac12$.
📐2. Limites trigonométriquesالنهايات المثلثية
📐 PROPRIÉTÉS
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\qquad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1\qquad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$
Plus généralement, pour $a\ne0$ : $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin ax}{ax}=1$ et $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan ax}{ax}=1$.
Ces limites ne valent qu'en $0$.
✏️ EXEMPLE
Calculer $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$.
Solution. On fait apparaître $\dfrac{\sin 3x}{3x}$ : $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\times\dfrac{\sin 3x}{3x}$. Quand $x\to0$, $3x\to0$ et $\dfrac{\sin3x}{3x}\to1$. Donc la limite vaut $3$.
🏛3. Limites et ordreالنهايات والترتيب
🏛 THÉORÈME
Les résultats suivants valent en $+\infty$, en $-\infty$, en un réel $a$, à droite ou à gauche.
  • Si $f(x)\ge u(x)$ et $\lim u(x)=+\infty$, alors $\lim f(x)=+\infty$. Si $f(x)\le v(x)$ et $\lim v(x)=-\infty$, alors $\lim f(x)=-\infty$.
  • Encadrement : si $u(x)\le f(x)\le v(x)$ et si $u$ et $v$ ont la même limite $\ell$, alors $\lim f(x)=\ell$.
  • Si $|f(x)-\ell|\le v(x)$ et $\lim v(x)=0$, alors $\lim f(x)=\ell$.
On s'en sert surtout avec $-1\le\sin x\le1$ et $-1\le\cos x\le1$.
✏️ EXEMPLE
Calculer 1) $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sin x}{x}$ ; 2) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x+\cos x\right)$.
Solution. 1) Pour $x\gt0$ : $\left|\dfrac{\sin x}{x}-0\right|\le\dfrac1x$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac1x=0$. Donc la limite vaut $0$ (et non $1$ : la limite « $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ » ne vaut qu'en $0$).
2) $\cos x\ge-1$, donc $x+\cos x\ge x-1$, et $\lim\limits_{x\to +\infty}(x-1)=+\infty$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}(x+\cos x)=+\infty$.
📘4. Continuité en un point🎬 capsule 2الاتصال في نقطة
▶ Regarder la capsule 2/6
Continuité en un point, à droite, à gauche· 3 min · sous-titres disponibles
📘 DÉFINITIONS
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$.
Il faut donc trois choses : $f(a)$ existe, la limite de $f$ en $a$ existe et elle est finie, et cette limite est égale à $f(a)$. Sinon, $f$ est discontinue en $a$.
✏️ EXEMPLE
Soit $f(x)=\dfrac{3x^2+2x-5}{x-1}$ pour $x\ne1$ et $f(1)=8$. Étudier la continuité de $f$ en $1$.
Solution. $3x^2+2x-5=(x-1)(3x+5)$, donc pour $x\ne1$ : $f(x)=3x+5$.
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(3x+5)=8=f(1)$ : $f$ est continue en $1$.
📐5. Continuité à droite, à gaucheالاتصال على اليمين وعلى اليسار
📐 PROPRIÉTÉS
$f$ est continue à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)=f(a)$, et continue à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^{-}} f(x)=f(a)$.
Propriété : $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$.
On utilise ces limites pour une fonction définie par morceaux : on calcule séparément la limite à gauche et la limite à droite, puis on les compare à $f(a)$.
✏️ EXEMPLE
1) Soit $f(x)=2x+1$ si $x\le1$ et $f(x)=x+3$ si $x\gt1$. Étudier la continuité de $f$ en $1$. 2) Soit $g(x)=x^2+m$ si $x\le1$ et $g(x)=2x+1$ si $x\gt1$. Déterminer le réel $m$ pour que $g$ soit continue en $1$.
Solution. 1) $f(1)=3$. À gauche : $\lim\limits_{x\to 1^{-}}(2x+1)=3=f(1)$, $f$ est continue à gauche. À droite : $\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x+3)=4\ne f(1)$, $f$ n'est pas continue à droite. Donc $f$ n'est pas continue en $1$ (la courbe fait un saut).
2) $g(1)=1+m$ et $\lim\limits_{x\to 1^{-}} g(x)=1+m$ ; $\lim\limits_{x\to 1^{+}} g(x)=3$. $g$ est continue en $1$ si et seulement si $1+m=3$, c'est-à-dire $m=2$.
📘6. Prolongement par continuitéالتمديد بالاتصال
📘 DÉFINITIONS
Soit $f$ une fonction non définie en $a$, mais définie autour de $a$. Si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\ell$ avec $\ell$ réel, la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)$ pour $x\ne a$ et $g(a)=\ell$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$.
Si la limite est infinie ou n'existe pas, il n'y a pas de prolongement par continuité.
✏️ EXEMPLE
Soit $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ sur $\mathbb R^*$. Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ et le définir.
Solution. $f$ n'est pas définie en $0$, et $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (limite réelle).
Le prolongement par continuité de $f$ en $0$ est la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ si $x\ne0$ et $g(0)=1$.
📐7. Continuité sur un intervalle et opérations🎬 capsule 3الاتصال على مجال والعمليات
▶ Regarder la capsule 3/6
Continuité sur un intervalle et composée· 3 min · sous-titres disponibles
📐 PROPRIÉTÉS
$f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a\,;b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle ; sur $[a\,;b]$, il faut en plus la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$.
Fonctions usuelles (admis) : les polynômes, $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb R$ ; une fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition ; $x\mapsto\sqrt x$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ ; $\tan$ est continue sur chaque intervalle où elle est définie.
Opérations : si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $kf$, $fg$, $f^n$ et $|f|$ sont continues sur $I$ ; $\dfrac fg$ aussi si $g$ ne s'annule pas sur $I$ ; $\sqrt f$ aussi si $f\ge0$ sur $I$.
✏️ EXEMPLE
Justifier que 1) $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}$ est continue sur $]3\,;+\infty[$ ; 2) $g(x)=\sqrt{x-1}+x^2$ est continue sur $[1\,;+\infty[$.
Solution. 1) $f$ est une fonction rationnelle définie sur $\mathbb R\setminus\{3\}$ ; $]3\,;+\infty[$ est un intervalle inclus dans cet ensemble, donc $f$ y est continue.
2) $x\mapsto x-1$ est continue et positive sur $[1\,;+\infty[$, donc $x\mapsto\sqrt{x-1}$ y est continue ; $x\mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb R$. La somme $g$ est continue sur $[1\,;+\infty[$.
🏛8. Continuité et limite d'une composéeاتصال ونهاية مركب دالتين
🏛 THÉORÈME
  • Si $f$ est continue sur $I$, $g$ continue sur $J$ et $f(I)\subset J$, alors $g\circ f$ est continue sur $I$.
  • Limite : si $\lim f(x)=\ell$ (en $a$, en $+\infty$ ou en $-\infty$) et si $g$ est continue en $\ell$, alors $\lim g\big(f(x)\big)=g(\ell)$.
En pratique : on calcule d'abord la limite de l'expression « intérieure », puis on applique la fonction continue « extérieure ».
✏️ EXEMPLE
1) Justifier que $x\mapsto\cos(2x^2-3x+1)$ est continue sur $\mathbb R$. 2) Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+2}}$.
Solution. 1) $x\mapsto2x^2-3x+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb R$, et $\cos$ est continue sur $\mathbb R$ : la composée est continue sur $\mathbb R$.
2) $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{4x+1}{x+2}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{4x}{x}=4$, et $x\mapsto\sqrt x$ est continue en $4$. Donc la limite vaut $\sqrt4=2$.
📐9. Image d'un intervalle par une fonction continue🎬 capsule 4صورة مجال بدالة متصلة
▶ Regarder la capsule 4/6
Image d'un intervalle, TVI, unicité et dichotomie· 3 min · sous-titres disponibles
📐 PROPRIÉTÉS
Admis :
  • l'image d'un segment $[a\,;b]$ par une fonction continue est un segment $[m\,;M]$, où $m$ est le minimum et $M$ le maximum de $f$ sur $[a\,;b]$ ;
  • l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si la fonction n'est pas monotone, on lit $m$ et $M$ sur le tableau de variations : l'image n'est pas forcément l'intervalle d'extrémités $f(a)$ et $f(b)$.
✏️ EXEMPLE
Soit $f(x)=x^2$. Déterminer $f\big([-1\,;2]\big)$.
Solution. $f$ est continue, décroissante sur $[-1\,;0]$ et croissante sur $[0\,;2]$. Son minimum sur $[-1\,;2]$ est $f(0)=0$ ; son maximum est $\max\big(f(-1)\,;f(2)\big)=\max(1\,;4)=4$.
Donc $f\big([-1\,;2]\big)=[0\,;4]$, et non $[1\,;4]$.
⭐10. Image par une fonction continue et strictement monotoneصورة مجال بدالة متصلة ورتيبة قطعا
⭐ À RETENIR
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, $f(I)$ est un intervalle de même nature, dont les bornes sont les images ou les limites aux bornes de $I$ :
Intervalle $I$$f$ strictement croissante$f$ strictement décroissante
$[a\,;b]$$[f(a)\,;f(b)]$$[f(b)\,;f(a)]$
$[a\,;b[$$\left[f(a)\,;\lim\limits_{x\to b^{-}} f(x)\right[$$\left]\lim\limits_{x\to b^{-}} f(x)\,;f(a)\right]$
$]a\,;b]$$\left]\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)\,;f(b)\right]$$\left[f(b)\,;\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)\right[$
$]a\,;b[$$\left]\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)\,;\lim\limits_{x\to b^{-}} f(x)\right[$$\left]\lim\limits_{x\to b^{-}} f(x)\,;\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)\right[$
$[a\,;+\infty[$$\left[f(a)\,;\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\right[$$\left]\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\,;f(a)\right]$
Si $f$ est décroissante, les bornes sont inversées. En une borne ouverte, on utilise la limite. Les cas $]-\infty\,;b]$ et $\mathbb R$ se traitent de la même façon.
✏️ EXEMPLE
Déterminer 1) $f\big([1\,;+\infty[\big)$ pour $f(x)=\dfrac1x$ ; 2) $g\big([-3\,;-1]\big)$ pour $g(x)=x^2$.
Solution. 1) $f$ est continue et strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$, avec $f(1)=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac1x=0$. Donc $f\big([1\,;+\infty[\big)=\,]0\,;1]$.
2) $g$ est continue et strictement décroissante sur $[-3\,;-1]$. Donc $g\big([-3\,;-1]\big)=[g(-1)\,;g(-3)]=[1\,;9]$.
🏛11. Théorème des valeurs intermédiairesمبرهنة القيم الوسيطية
🏛 THÉORÈME
Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, alors pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.
Cas fréquent : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $f(a)\times f(b)\lt0$, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a\,;b[$.
La continuité est indispensable : $x\mapsto\dfrac1x$ change de signe entre $-1$ et $1$ sans jamais s'annuler.
✏️ EXEMPLE
Montrer que l'équation $x^3-3x+1=0$ admet au moins une solution dans $]0\,;1[$.
Solution. $f(x)=x^3-3x+1$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;1]$.
$f(0)=1\gt0$ et $f(1)=1-3+1=-1\lt0$, donc $f(0)\times f(1)\lt0$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0\,;1[$.
🛠12. Méthode : prouver qu'une solution est uniqueطريقة : إثبات وحدانية الحل
🛠 MÉTHODE
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et si $\lambda\in f(I)$, alors l'équation $f(x)=\lambda$ admet une unique solution dans $I$.
Rédaction type examen pour « $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]a\,;b[$ » :
  1. $f$ est continue sur $[a\,;b]$ ;
  2. $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$ ;
  3. $f(a)\times f(b)\lt0$ ;
  4. conclure : solution unique $\alpha$ dans $]a\,;b[$.
On en déduit souvent le signe de $f$ de part et d'autre de $\alpha$.
✏️ EXEMPLE
Soit $f(x)=x^3+x-1$. 1) Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$. 2) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.
Solution. 1) $f$ est continue sur $\mathbb R$ ; elle est strictement croissante sur $\mathbb R$, comme somme des fonctions strictement croissantes $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto x-1$. $f(0)=-1\lt0$ et $f(1)=1\gt0$. Donc $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$.
2) $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=0$ : $f(x)\lt0$ pour $x\lt\alpha$ et $f(x)\gt0$ pour $x\gt\alpha$.
🛠13. Méthode de dichotomieطريقة التفرع الثنائي
🛠 MÉTHODE
Pour encadrer la solution $\alpha$ de $f(x)=0$ sur $[a\,;b]$ (avec $f(a)\times f(b)\lt0$) :
  1. calculer $f(c)$ au milieu $c=\dfrac{a+b}2$ ;
  2. si $f(a)\times f(c)\lt0$, alors $\alpha\in\,]a\,;c[$ ; sinon $\alpha\in\,]c\,;b[$ (ou $\alpha=c$ si $f(c)=0$) ;
  3. recommencer avec le nouvel intervalle : à chaque étape, l'amplitude est divisée par $2$.
✏️ EXEMPLE
Avec $f(x)=x^3+x-1$ et $\alpha\in\,]0\,;1[$ (§ 12), donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}25$.
Solution. $f(0{,}5)=0{,}125+0{,}5-1=-0{,}375\lt0$ et $f(1)\gt0$ : $\alpha\in\,]0{,}5\,;1[$.
$f(0{,}75)=0{,}421875+0{,}75-1=0{,}171875\gt0$ : $\alpha\in\,]0{,}5\,;0{,}75[$.
Encadrement d'amplitude $0{,}25$ : $0{,}5\lt\alpha\lt0{,}75$.
🏛14. Fonction réciproque🎬 capsule 5الدالة العكسية
▶ Regarder la capsule 5/6
Fonction réciproque· 2 min · sous-titres disponibles
🏛 THÉORÈME
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ : pour tout $y\in J$, l'équation $f(x)=y$ a une unique solution dans $I$. La fonction qui à $y$ associe cette solution est la fonction réciproque $f^{-1}$, définie sur $J$.
  • Pour $x\in J$ et $y\in I$ : $f^{-1}(x)=y\iff f(y)=x$ ;
  • $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ pour $x\in J$, et $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ pour $x\in I$ ;
  • $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$ ;
  • dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.
Attention : $f^{-1}(x)$ n'est pas $\dfrac1{f(x)}$.
✏️ EXEMPLE
Soit $f(x)=x^2+1$ sur $I=[0\,;+\infty[$. 1) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer. 2) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$.
Solution. 1) $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec $f(0)=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Elle admet une réciproque définie sur $J=f(I)=[1\,;+\infty[$.
2) Soit $x\in[1\,;+\infty[$ et $y\in[0\,;+\infty[$ : $f(y)=x\iff y^2=x-1\iff y=\sqrt{x-1}$ (car $y\ge0$). Donc $f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$.
📐15. Racine n-ième🎬 capsule 6الجذر من الرتبة n
▶ Regarder la capsule 6/6
Racine n-ième et puissances rationnelles· 3 min · sous-titres disponibles
📐 PROPRIÉTÉS
Soit $n\in\mathbb N^*$. La fonction $x\mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; sa réciproque est la fonction racine n-ième $x\mapsto\sqrt[n]{x}$, définie sur $[0\,;+\infty[$. Pour $x\ge0$ et $y\ge0$ : $\sqrt[n]{x}=y\iff x=y^n$. Cas particuliers : $\sqrt[2]{x}=\sqrt x$ ; $\sqrt[3]{x}$ est la racine cubique.
Règles (pour $a\ge0$, $b\ge0$, $n,p\ge1$) : $\left(\sqrt[n]a\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a$ ; $\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$ ; $\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}$ ($b\gt0$) ; $\sqrt[n]{\sqrt[p]a}=\sqrt[np]a$ ; $\sqrt[n]a\lt\sqrt[n]b\iff a\lt b$.
Limites et continuité : $x\mapsto\sqrt[n]x$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[n]x=+\infty$. Si $u\ge0$ est continue sur $I$, $\sqrt[n]{u}$ est continue sur $I$ ; si $\lim u=\ell\ge0$, alors $\lim\sqrt[n]{u}=\sqrt[n]{\ell}$.
Équation $x^n=a$ :
Équation $x^n=a$ ($a\ne0$)$n$ pair$n$ impair
$a\gt0$$S=\left\{-\sqrt[n]a\,;\sqrt[n]a\right\}$$S=\left\{\sqrt[n]a\right\}$
$a\lt0$$S=\varnothing$$S=\left\{-\sqrt[n]{-a}\right\}$
✏️ EXEMPLE
1) Résoudre dans $\mathbb R$ : $x^3=8$ ; $x^3=-27$ ; $x^4=16$. 2) Simplifier $A=\sqrt[3]{16}\times\sqrt[3]{4}$.
Solution. 1) $x^3=8\iff x=\sqrt[3]8=2$. $x^3=-27\iff x=-\sqrt[3]{27}=-3$ ($n$ impair, $a\lt0$). $x^4=16\iff x=2$ ou $x=-2$ ($n$ pair, $a\gt0$).
2) $A=\sqrt[3]{16\times4}=\sqrt[3]{64}=4$.
📐16. Puissances rationnellesالقوى الجذرية
📐 PROPRIÉTÉS
Soit $a\gt0$ et $r=\dfrac pq$ un rationnel ($p\in\mathbb Z$, $q\in\mathbb N^*$). On pose $a^{r}=a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p}=\left(\sqrt[q]a\right)^p$. En particulier $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.
Règles (pour $a\gt0$, $b\gt0$, $r$ et $r'$ rationnels) : $a^r\times a^{r'}=a^{r+r'}$ ; $\left(a^r\right)^{r'}=a^{rr'}$ ; $(ab)^r=a^rb^r$ ; $a^{-r}=\dfrac1{a^r}$ ; $\dfrac{a^r}{a^{r'}}=a^{r-r'}$ ; $\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}$.
Ce sont les mêmes règles que pour les puissances entières, mais la base doit être strictement positive.
✏️ EXEMPLE
Calculer $A=8^{\frac23}$ et $B=4^{\frac12}\times27^{\frac13}$.
Solution. $A=\left(\sqrt[3]8\right)^2=2^2=4$.
$B=\sqrt4\times\sqrt[3]{27}=2\times3=6$.
⭐À retenirما يجب تذكره
⭐ À RETENIR
  • Continue en $a$ : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ ; pour une fonction par morceaux, comparer les limites à gauche et à droite avec $f(a)$.
  • Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac\infty\infty$, $\dfrac00$ : factoriser ou utiliser la conjuguée. $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ seulement en $0$.
  • TVI : il faut la continuité ; il donne au moins une solution.
  • Unicité : continue et strictement monotone.
  • Image par une fonction décroissante : bornes inversées ; borne ouverte : limite.
  • Réciproque : définie sur $J=f(I)$ ; $f^{-1}(x)\ne\dfrac1{f(x)}$.
  • $\sqrt[n]x$ et $a^r$ : base positive (strictement positive pour $a^r$) ; la solution de $x^3=-8$ s'écrit $-\sqrt[3]8=-2$.
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💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه
03
📐
Formules & règles à retenir
القوانين والقواعد الواجب تذكّرها
▶ Voir la vidéo
5 min · sous-titres disponibles
Sous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube
Formes indéterminées
$\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac\infty\infty$ ; $\dfrac00$ : factoriser et simplifier, ou multiplier par l'expression conjuguée. En $\pm\infty$ : terme (ou quotient des termes) de plus haut degré
Limites trigonométriques (en 0)
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}x=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$
Encadrement
$u\le f\le v$ et $\lim u=\lim v=\ell$ $\Rightarrow$ $\lim f=\ell$ ; $|f(x)-\ell|\le v(x)$ et $\lim v=0$ $\Rightarrow$ $\lim f=\ell$
Continuité en $a$
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ ; continue en $a$ $\iff$ continue à droite et à gauche en $a$
Composée
$\lim f(x)=\ell$ et $g$ continue en $\ell$ $\Rightarrow$ $\lim g\big(f(x)\big)=g(\ell)$
Image d'un intervalle
$f$ continue et strictement croissante : $f([a\,;b])=[f(a)\,;f(b)]$ ; strictement décroissante : $f([a\,;b])=[f(b)\,;f(a)]$ ; borne ouverte : on prend la limite
TVI et unicité
$f$ continue sur $[a\,;b]$ et $f(a)f(b)\lt0$ : au moins une solution de $f(x)=0$ dans $]a\,;b[$ ; si de plus $f$ est strictement monotone : solution unique
Fonction réciproque
$f$ continue et strictement monotone sur $I$ : $f^{-1}$ définie sur $J=f(I)$ ; $f^{-1}(x)=y\iff f(y)=x$ ; courbes symétriques par rapport à $y=x$
Racine n-ième
$\sqrt[n]x=y\iff x=y^n$ $(x,y\ge0)$ ; $\sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$ ; $\sqrt[n]{\sqrt[p]a}=\sqrt[np]a$ ; $x^n=a$ avec $a\lt0$ et $n$ impair : $x=-\sqrt[n]{-a}$
Puissances rationnelles
$a\gt0$ : $a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p}$ ; $a^r a^{r'}=a^{r+r'}$ ; $\left(a^r\right)^{r'}=a^{rr'}$ ; $a^{-r}=\dfrac1{a^r}$
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« $\infty-\infty=0$. ».C'est une forme indéterminée : factoriser ou utiliser la conjuguée. Exemple : $\sqrt{x^2+x}-x\to\dfrac12$ en $+\infty$.
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« $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=1$. ».Cette limite vaut $1$ seulement en $0$. En $+\infty$ : $\left|\dfrac{\sin x}x\right|\le\dfrac1x$, donc la limite vaut $0$.
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Fonction par morceaux : conclure avec une seule limite.Calculer la limite à gauche et la limite à droite, puis les comparer à $f(a)$.
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« $f(a)f(b)\lt0$, donc la solution est unique. ».Le TVI donne au moins une solution ; l'unicité exige la stricte monotonie.
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« $f$ décroissante : $f([a\,;b])=[f(a)\,;f(b)]$. ».Les bornes s'inversent : $[f(b)\,;f(a)]$. Et en une borne ouverte, on utilise la limite.
✕
« $f^{-1}(x)=\dfrac1{f(x)}$. ».$f^{-1}$ est la réciproque : $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$. Exemple : pour $f(x)=2x+1$, $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}2$.
✅

Quiz de compréhension

رائز الفهم
04
Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]
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[Réponse A]
B
[Réponse B — correcte]
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[Réponse C]
D
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05
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Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية
06
🔵 Application تطبيق · 8
🟡 Médium متوسط · 6 🎁
🟠 Avancé متقدّم · 4 🔒
Exercice 1
🔵 Application · Libre
Calculer les limites suivantes : 1) $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(2x^3-x+4\right)$ ; 2) $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ ; 3) $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3x}$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) En $-\infty$, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré : $\lim\limits_{x\to -\infty} 2x^3=-\infty$.

2) Forme $\dfrac00$. Pour $x\ne3$ : $\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, qui tend vers $6$.

3) Fonction rationnelle en $+\infty$ : quotient des termes de plus haut degré, $\dfrac{2x^2}{x^2}=2$.

Conclusion : Les limites valent $-\infty$, $6$ et $2$.

Exercice 2
🔵 Application · Libre
À l'aide de l'expression conjuguée, calculer : 1) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ ; 2) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Forme $\dfrac00$. On multiplie par $\sqrt{x+3}+2$ : $\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{(x+3)-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ pour $x\ne1$.

Quand $x\to1$, $\sqrt{x+3}+2\to4$ : la limite vaut $\dfrac14$.

2) Forme $\infty-\infty$. $\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$.

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$.

Conclusion : Les limites valent $\dfrac14$ et $0$.

Exercice 3
🔵 Application · Libre
Calculer : 1) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{3x}$ ; 2) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 4x}{x}$ ; 3) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $\dfrac{\sin2x}{3x}=\dfrac23\times\dfrac{\sin2x}{2x}\to\dfrac23\times1=\dfrac23$.

2) $\dfrac{\tan4x}{x}=4\times\dfrac{\tan4x}{4x}\to4\times1=4$.

3) On pose $X=2x$ : $\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos X}{X^2}$. Quand $x\to0$, $X\to0$ et $\dfrac{1-\cos X}{X^2}\to\dfrac12$ : la limite vaut $4\times\dfrac12=2$.

Conclusion : Les limites valent $\dfrac23$, $4$ et $2$.

Exercice 4
🔵 Application · Libre
1) Soit $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ si $x\ne3$ et $f(3)=6$. Montrer que $f$ est continue en $3$. 2) Soit $g(x)=x+a$ si $x\lt0$ et $g(x)=x^3$ si $x\ge0$, où $a$ est un réel. Déterminer $a$ pour que $g$ soit continue en $0$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Pour $x\ne3$ : $f(x)=x+3$, donc $\lim\limits_{x\to 3} f(x)=6=f(3)$ : $f$ est continue en $3$.

2) $g(0)=0$. À droite : $\lim\limits_{x\to 0^{+}} x^3=0=g(0)$, donc $g$ est continue à droite en $0$.

À gauche : $\lim\limits_{x\to 0^{-}}(x+a)=a$. $g$ est continue à gauche en $0$ si et seulement si $a=0$.

Conclusion : $f$ est continue en $3$ ; $g$ est continue en $0$ si et seulement si $a=0$.

Exercice 5
🔵 Application · Libre
Justifier que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ : 1) $f(x)=3x^4-5x^2+1$, $I=[-1\,;+\infty[$ ; 2) $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-3}$, $I=]-\infty\,;-1]$ ; 3) $f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+1}$, $I=\mathbb R$ ; 4) $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$, $I=\mathbb R$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f$ est un polynôme, continu sur $\mathbb R$, donc sur $[-1\,;+\infty[$.

2) $f$ est rationnelle, définie sur $\mathbb R\setminus\{3\}$ ; $]-\infty\,;-1]$ est inclus dans cet ensemble, donc $f$ y est continue.

3) $\cos$ et $x\mapsto x^2+1$ sont continues sur $\mathbb R$, et $x^2+1\ne0$ : le quotient est continu sur $\mathbb R$.

4) $x^2+x+1$ a pour discriminant $\Delta=1-4=-3\lt0$, donc $x^2+x+1\gt0$ pour tout $x$. La fonction $u:x\mapsto x^2+x+1$ est continue et positive sur $\mathbb R$, donc $\sqrt u$ est continue sur $\mathbb R$.

Conclusion : Les quatre fonctions sont continues sur l'intervalle indiqué.

Exercice 6
🔵 Application · Libre
Montrer que $f$ est continue sur $I$, puis déterminer $f(I)$ : 1) $f(x)=\dfrac{2}{x-2}$, $I=[5\,;8]$ ; 2) $f(x)=\sqrt{x+1}$, $I=[3\,;5]$ ; 3) $f(x)=x^2+2$, $I=[-1\,;3]$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f$ est rationnelle, définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$, donc continue sur $[5\,;8]$. Elle est strictement décroissante sur $[5\,;8]$ (inverse d'une fonction positive croissante) : $f([5\,;8])=[f(8)\,;f(5)]=\left[\dfrac13\,;\dfrac23\right]$.

2) $x+1\ge0$ sur $[3\,;5]$, donc $f$ est continue ; elle est strictement croissante : $f([3\,;5])=[f(3)\,;f(5)]=\left[2\,;\sqrt6\right]$.

3) $f$ est un polynôme, continu. Elle n'est pas monotone sur $[-1\,;3]$ : décroissante sur $[-1\,;0]$, croissante sur $[0\,;3]$. Minimum $f(0)=2$, maximum $f(3)=11$ (car $f(-1)=3\lt11$).

Donc $f([-1\,;3])=[2\,;11]$.

Conclusion : $f([5\,;8])=\left[\dfrac13\,;\dfrac23\right]$ ; $f([3\,;5])=\left[2\,;\sqrt6\right]$ ; $f([-1\,;3])=[2\,;11]$.

Exercice 7
🔵 Application · Libre
Soit $f(x)=x^3+3x^2+4x+1$ sur $\mathbb R$. 1) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$. 2) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\,;0[$. 3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f'(x)=3x^2+6x+4$. Discriminant : $\Delta=36-48=-12\lt0$, donc $f'(x)\gt0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

2) $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $[-1\,;0]$. $f(-1)=-1+3-4+1=-1\lt0$ et $f(0)=1\gt0$.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\,;0[$ ; c'est la seule sur $\mathbb R$, car $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

3) $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=0$ : $f(x)\lt0$ si $x\lt\alpha$, $f(x)\gt0$ si $x\gt\alpha$.

Conclusion : $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha\in\,]-1\,;0[$ ; $f$ est négative avant $\alpha$ et positive après.

Exercice 8
🔵 Application · Libre
Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $4x^4-8=0$ ; 2) $2x^8+11=0$ ; 3) $(2x-3)^4=16$ ; 4) $x^3+125=0$.
✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $x^4=2$ : $n=4$ pair et $2\gt0$, donc $x=\sqrt[4]2$ ou $x=-\sqrt[4]2$.

2) $x^8=-\dfrac{11}2\lt0$ avec $n=8$ pair : pas de solution, $S=\varnothing$.

3) $(2x-3)^4=16$ : $2x-3=2$ ou $2x-3=-2$, soit $x=\dfrac52$ ou $x=\dfrac12$.

4) $x^3=-125$ : $n=3$ impair et $-125\lt0$, donc $x=-\sqrt[3]{125}=-5$.

Conclusion : $S_1=\left\{-\sqrt[4]2\,;\sqrt[4]2\right\}$ ; $S_2=\varnothing$ ; $S_3=\left\{\dfrac12\,;\dfrac52\right\}$ ; $S_4=\{-5\}$.

🎓

Le chapitre à l'examen national

الدرس في الامتحان الوطني
★
Examen national du baccalauréat — 2020, session de rattrapage — Mathématiques, Sciences expérimentales — Problème, partie II, questions 3 c) et 4 — extrait adapté
📝 Extrait adapté
Adapté du sujet national 2020 (session de rattrapage) : le tableau de variations de $f$ est donné.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^2+5x-3-2\ln x$. On admet que $f$ est continue sur $]0\,;+\infty[$, que son tableau de variations est le suivant, et que $f(1)=1$, $f(2)\approx1{,}25$, $f(3)\approx0{,}5$ et $f(4)\approx-1{,}9$ :
$x$$0$$1$$2$$+\infty$
$f(x)$$+\infty$↘$1$↗$f(2)$↘$-\infty$
1) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]3\,;4[$. (0,5 pt, question du sujet)
2) Déterminer $f([1\,;2])$ et $f([2\,;+\infty[)$.
3) Montrer que l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $]0\,;2]$, puis que $\alpha$ est son unique solution sur $]0\,;+\infty[$.
4) Soit $g$ la restriction de $f$ à $[2\,;+\infty[$. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. Donner $g^{-1}(0)$ et le sens de variation de $g^{-1}$.
✓ Correction
📄 Voir le sujet complet
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Notions du chapitre mobilisées : N01-09, N01-10, N01-11, N01-13

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