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2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

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📐 Prérequis · Chapitre 0 · المكتسبات القبلية

Prérequis et évaluation diagnostiqueالمكتسبات القبلية والتقويم التشخيصي

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

📝 20 questions · ⏱️ environ 30 min · 📄 10 fiches de rappel · 🎬 6 capsules

▶ Commencer le test20 questions, ton bilan par notion puis les fiches de rappel

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Objectifs du chapitre 0

أهداف الفصل 0

Repérer, notion par notion, les acquis du tronc commun et du 1BAC nécessaires en 2BAC
Revoir l'essentiel de chaque notion à consolider à l'aide d'une fiche, d'un exemple résolu et d'un exercice corrigé
Savoir quels chapitres de 2BAC préparer en priorité

✅

Test diagnostique

التقويم التشخيصي

Ce test vérifie les 10 notions du tronc commun et du 1BAC dont tu auras besoin en 2BAC (2 questions par notion). Réponds sans calculatrice, comme en classe. À la fin, tu sais quelles notions revoir et quels chapitres préparer.

Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]

[Réponse A]

[Réponse B — correcte]

[Réponse C]

[Réponse D]

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Capsule C1 : Le second degré : discriminant, racines, signe (fiche 1)Sous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube

Les rappels en 6 capsules courtes · commence par celles de tes notions 🔴

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Fiches de rappel

بطاقات التذكير

Une fiche par notion : l'essentiel, un exemple résolu, un piège et un exercice corrigé.

📄1. Second degréالحدودية من الدرجة الثانية

⭐ L'ESSENTIEL

Pour $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ : $\Delta=b^2-4ac$.
Si $\Delta>0$ : deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Si $\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, et $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$.
Si $\Delta<0$ : pas de racine réelle, pas de factorisation.
Signe : le trinôme a le signe de $a$ partout, sauf entre les racines (quand $\Delta>0$), où il a le signe contraire.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Résoudre $2x^2-x-3<0$.

Solution. $\Delta=1+24=25$, racines $\dfrac{1-5}{4}=-1$ et $\dfrac{1+5}{4}=\dfrac32$. Comme $a=2>0$, le trinôme est négatif entre les racines : $S=\mathopen{]}-1\,;\dfrac32\mathclose{[}$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $-x^2+5x-6>0$ à l'extérieur des racines $2$ et $3$.

✓ Ici $a=-1<0$ : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles, donc $S=\mathopen{]}2\,;3\mathclose{[}$.

🧩 À TOI DE JOUER

Résoudre $-x^2+4x-4\geq 0$.

Voir le corrigé

$-x^2+4x-4=-(x-2)^2$. Un carré est positif, donc $-(x-2)^2\leq 0$ pour tout $x$ ; l'inégalité $\geq 0$ n'est vraie que si $x=2$ : $S=\{2\}$.

▶ Voir la capsule Ch. 1 Limites et continuité Ch. 2 Dérivation et étude de fonctionsCh. 5 Fonctions logarithmesCh. 6 Fonctions exponentiellesCh. 7 Nombres complexes

📄2. Valeur absolue, inéquations, tableau de signesالقيمة المطلقة والمتراجحات وجدول الإشارات

⭐ L'ESSENTIEL

$|x|=x$ si $x\geq 0$ et $|x|=-x$ si $x\leq 0$ ; $|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$.
Pour $r>0$ : $|x-a|\leq r \iff a-r\leq x\leq a+r$ ; $|x-a|\geq r \iff x\leq a-r$ ou $x\geq a+r$.
$|ab|=|a|\,|b|$ et $|a+b|\leq |a|+|b|$ (inégalité triangulaire).
Inéquation produit ou quotient : tout ramener à $0$, factoriser, dresser un tableau de signes, exclure les valeurs interdites.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Résoudre $\dfrac{2x+1}{x-3}\geq 1$.

Solution. $\dfrac{2x+1}{x-3}-1=\dfrac{x+4}{x-3}\geq 0$. Tableau de signes : $x+4$ s'annule en $-4$, $x-3$ en $3$ (valeur interdite). $S=\mathopen{]}-\infty\,;-4]\cup\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $\dfrac{2x+1}{x-3}\geq 1 \iff 2x+1\geq x-3$.

✓ On ne multiplie pas par $x-3$ : son signe change selon $x$. On ramène à $0$ et on fait un tableau de signes.

🧩 À TOI DE JOUER

Résoudre $|2x-1|<3$.

Voir le corrigé

$|2x-1|<3 \iff -3<2x-1<3 \iff -2<2x<4 \iff -1<x<2$ : $S=\mathopen{]}-1\,;2\mathclose{[}$.

▶ Voir la capsule Ch. 1 Limites et continuité Ch. 2 Dérivation et étude de fonctionsCh. 5 Fonctions logarithmesCh. 6 Fonctions exponentielles

📄3. Généralités sur les fonctionsعموميات حول الدوال

⭐ L'ESSENTIEL

Ensemble de définition : dénominateur $\neq 0$ ; sous une racine carrée, quantité $\geq 0$.
$f$ paire : $D_f$ symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=f(x)$ ; la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ impaire : $D_f$ symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=-f(x)$ ; la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
La droite $x=a$ est axe de symétrie si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
Le point $\Omega(a\,;b)$ est centre de symétrie si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Étudier la parité de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.

Solution. $D_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, et $f(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-f(x)$ : $f$ est impaire.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $g(x)=x^2$ sur $[-1\,;2]$ est paire car $(-x)^2=x^2$.

✓ $[-1\,;2]$ n'est pas symétrique ($2$ y est, $-2$ non) : on vérifie toujours $D_f$ d'abord.

🧩 À TOI DE JOUER

Montrer que la droite d'équation $x=1$ est un axe de symétrie de la courbe de $f(x)=x^2-2x+3$.

Voir le corrigé

$D_f=\mathbb{R}$, donc $2-x\in D_f$. $f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+3=x^2-2x+3=f(x)$ : la droite $x=1$ est axe de symétrie.

▶ Voir la capsule Ch. 2 Dérivation et étude de fonctions

📄4. Composée, majorant, minorantمركب دالتين، دالة مكبورة ومصغورة

⭐ L'ESSENTIEL

$(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)$ ; $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. En général $g\circ f\neq f\circ g$.
$f$ monotone sur $I$, $g$ monotone sur $f(I)$ : même sens $\Rightarrow$ $g\circ f$ croissante ; sens contraires $\Rightarrow$ $g\circ f$ décroissante.
$f$ majorée sur $I$ par $M$ : $f(x)\leq M$ pour tout $x\in I$ ; minorée par $m$ : $f(x)\geq m$ ; bornée : majorée et minorée.
Comparer $f$ et $g$ : étudier le signe de $f(x)-g(x)$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Soit $h(x)=\sqrt{4-x^2}$. Donner $D_h$ et les variations de $h$.

Solution. $h=g\circ f$ avec $f(x)=4-x^2$ et $g(x)=\sqrt{x}$. $D_h$ : $4-x^2\geq 0$, soit $[-2\,;2]$. Sur $[-2\,;0]$, $f$ est croissante et $g$ aussi : $h$ est croissante. Sur $[0\,;2]$, $f$ est décroissante : $h$ est décroissante.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ Avec $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2$ : $(g\circ f)(x)=x^2+1$.

✓ $(g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2$ ; c'est $(f\circ g)(x)$ qui vaut $x^2+1$.

🧩 À TOI DE JOUER

Montrer que $u(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

Voir le corrigé

$x^2+1\geq 1>0$, donc $0<\dfrac{1}{x^2+1}\leq 1$ : $u$ est minorée par $0$ et majorée par $1$, donc bornée.

▶ Voir la capsule Ch. 1 Limites et continuité Ch. 2 Dérivation et étude de fonctions

📄5. Limites du 1BACالنهايات

⭐ L'ESSENTIEL

Limites usuelles : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$.
En $\pm\infty$ : un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré ; une fonction rationnelle, celle du quotient des termes de plus haut degré.
Formes indéterminées : $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac00$. On factorise, on simplifie, ou on multiplie par la quantité conjuguée.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.
Limites et ordre : si $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ au voisinage de $a$ et si $u$ et $v$ ont la même limite $\ell$ en $a$, alors $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$.

Solution. Forme $+\infty-\infty$. Avec la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}$ (pour $x>0$). La limite vaut $\dfrac12$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $+\infty-\infty=0$, donc la limite est $0$.

✓ $+\infty-\infty$ est une forme indéterminée : il faut transformer l'expression (ici, quantité conjuguée).

🧩 À TOI DE JOUER

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$.

Voir le corrigé

Forme $\dfrac00$. Pour $x\neq 2$ : $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$. La limite vaut $4$.

▶ Voir la capsule Ch. 1 Limites et continuité

📄6. Dérivées usuelles et opérationsمشتقات الدوال الاعتيادية والعمليات

⭐ L'ESSENTIEL

$(x^n)'=nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ($x>0$) ; $(\sin x)'=\cos x$ ; $(\cos x)'=-\sin x$.
$(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$.
$(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ ($u>0$) ; $\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Calculer la dérivée de $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$.

Solution. $u=3x-1$, $v=x+2$ : $f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\times1}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $(uv)'=u'v'$ » et « $(\sqrt{u})'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ ».

✓ $(uv)'=u'v+uv'$ et $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ : on n'oublie jamais $u'$.

🧩 À TOI DE JOUER

Dériver $f(x)=(2x+1)^3$ et $g(x)=\cos(3x)$.

Voir le corrigé

$f'(x)=3\times2\times(2x+1)^2=6(2x+1)^2$ ; $g'(x)=3\times\big(-\sin(3x)\big)=-3\sin(3x)$.

▶ Voir la capsule Ch. 2 Dérivation et étude de fonctions Ch. 4 Primitives

📄7. Dérivée et variationsالمشتقة وتغيرات دالة

⭐ L'ESSENTIEL

$f$ dérivable en $a$ : $f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ; c'est le coefficient directeur de la tangente.
Tangente au point d'abscisse $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Sur un intervalle : $f'\geq0$ $\Rightarrow$ $f$ croissante ; $f'\leq0$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante ($f'$ ne s'annulant qu'en des points isolés).
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum en $a$ : maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$, minimum sinon.
Si les limites à gauche et à droite du taux de variation en $a$ sont différentes, la courbe a deux demi-tangentes en $a$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x$.

Solution. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. $f$ est croissante sur $\mathopen{]}-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty\mathclose{[}$. Maximum local $f(-1)=2$, minimum local $f(1)=-2$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ Tangente en $a$ : $y=f'(a)\,x+f(a)$.

✓ $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ : la tangente passe par le point $\big(a\,;f(a)\big)$.

🧩 À TOI DE JOUER

Donner une équation de la tangente à la courbe de $f(x)=\dfrac1x$ au point d'abscisse $2$.

Voir le corrigé

$f(2)=\dfrac12$, $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(2)=-\dfrac14$. $y=-\dfrac14(x-2)+\dfrac12=-\dfrac14x+1$.

▶ Voir la capsule Ch. 2 Dérivation et étude de fonctions

📄8. Suites arithmétiques et géométriquesالمتتاليات الحسابية والهندسية

⭐ L'ESSENTIEL

Arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$ ; $u_n=u_p+(n-p)\,r$.
Géométrique de raison $q$ : $u_{n+1}=q\,u_n$ ; $u_n=u_p\,q^{\,n-p}$.
Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $\text{(nombre de termes)}\times\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$.
Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ($q\neq1$) : $\text{premier}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$.
De $u_p$ à $u_n$ il y a $n-p+1$ termes. Monotonie : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Calculer $S=1+2+4+\dots+2^{10}$.

Solution. Suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$ ; de $2^0$ à $2^{10}$ il y a $11$ termes. $S=1\times\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2047$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ De $u_0$ à $u_{10}$, il y a $10$ termes.

✓ Il y en a $10-0+1=11$.

🧩 À TOI DE JOUER

$u_n=3n-2$. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique, puis calculer $u_1+u_2+\dots+u_{10}$.

Voir le corrigé

$u_{n+1}-u_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3$ : arithmétique de raison $3$. $u_1=1$, $u_{10}=28$, $10$ termes : $S=10\times\dfrac{1+28}{2}=145$.

▶ Voir la capsule Ch. 3 Suites numériques

📄9. Raisonnement par récurrenceالاستدلال بالترجع

⭐ L'ESSENTIEL

Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$ :
1. Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : soit $n\geq n_0$ fixé ; on suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et on démontre $P(n+1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1+3+5+\dots+(2n+1)=(n+1)^2$.

Solution. Initialisation : pour $n=0$, $1=1^2$. Hérédité : si $1+3+\dots+(2n+1)=(n+1)^2$, alors $1+3+\dots+(2n+1)+(2n+3)=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ L'hérédité est démontrée, donc $P(n)$ est vraie pour tout $n$.

✓ Sans initialisation, on ne peut rien conclure : une propriété toujours fausse peut avoir une hérédité juste.

🧩 À TOI DE JOUER

$u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n<2$.

Voir le corrigé

Initialisation : $0<1<2$. Hérédité : si $0<u_n<2$, alors $2<u_n+2<4$, donc $\sqrt2<u_{n+1}<2$, et ainsi $0<u_{n+1}<2$. Conclusion : $0<u_n<2$ pour tout $n$.

▶ Voir la capsule Ch. 3 Suites numériques

📄10. Trigonométrieحساب المثلثات

⭐ L'ESSENTIEL

$\cos0=1$, $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$, $\cos\frac{\pi}{2}=0$ ; pour $\sin$, les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.
$\cos^2x+\sin^2x=1$ ; $\cos(-x)=\cos x$ ; $\sin(-x)=-\sin x$ ; $\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi-x)=\sin x$.
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ; $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ ; $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$.
$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ ; $\sin2a=2\sin a\cos a$.
$a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)$ avec $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi=\dfrac ar$, $\sin\varphi=\dfrac br$.
$\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ ; $\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

✏️ EXEMPLE RÉSOLU — cliquer pour voir

Écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $r\cos(x-\varphi)$.

Solution. $r=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\varphi=\dfrac12$, $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$, donc $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ : $\cos x+\sqrt3\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

⚠️ PIÈGE À ÉVITER

✗ $\cos(a+b)=\cos a+\cos b$.

✓ Contre-exemple : $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\pi=-1$, alors que $\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}=0$.

🧩 À TOI DE JOUER

Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ dans $[0\,;2\pi\mathclose{[}$.

Voir le corrigé

$\sin x=\sin\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi\mathclose{[}$ : $S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right\}$.

▶ Voir la capsuleCh. 7 Nombres complexes

⬇️ Télécharger les 10 fiches en PDF

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[{"question": "Le trinôme $x^2-4x+5$ est :", "optA": "strictement négatif pour tout réel $x$", "optB": "positif seulement sur $[2\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optC": "strictement positif pour tout réel $x$", "optD": "nul en $x=2$", "correct": "C", "notion": "N00-01", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $\\Delta=16-20=-4<0$ : le trinôme ne s'annule pas et garde le signe de $a=1$. Il est donc strictement positif sur $\\mathbb{R}$.", "feedback_incorrect": "$\\Delta=16-20=-4<0$ : le trinôme ne s'annule pas et garde le signe de $a=1$. Il est donc strictement positif sur $\\mathbb{R}$."}, {"question": "L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x^2+6x-4\\geq 0$ est :", "optA": "$\\mathopen{]}-\\infty\\,;1]\\cup[2\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optB": "$[1\\,;2]$", "optC": "$\\mathopen{]}1\\,;2\\mathclose{[}$", "optD": "$[-2\\,;-1]$", "correct": "B", "notion": "N00-01", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $-2x^2+6x-4=-2(x-1)(x-2)$. Racines $1$ et $2$ ; le trinôme a le signe de $a=-2$ (négatif) à l'extérieur des racines, donc il est positif entre elles : $S=[1\\,;2]$.", "feedback_incorrect": "$-2x^2+6x-4=-2(x-1)(x-2)$. Racines $1$ et $2$ ; le trinôme a le signe de $a=-2$ (négatif) à l'extérieur des racines, donc il est positif entre elles : $S=[1\\,;2]$."}, {"question": "L'ensemble des réels $x$ tels que $|x-3|\\leq 2$ est :", "optA": "$\\mathopen{]}-\\infty\\,;1]\\cup[5\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optB": "$[-5\\,;-1]$", "optC": "$\\mathopen{]}1\\,;5\\mathclose{[}$", "optD": "$[1\\,;5]$", "correct": "D", "notion": "N00-02", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $|x-3|$ est la distance de $x$ à $3$. $|x-3|\\leq 2 \\iff 3-2\\leq x\\leq 3+2 \\iff x\\in[1\\,;5]$.", "feedback_incorrect": "$|x-3|$ est la distance de $x$ à $3$. $|x-3|\\leq 2 \\iff 3-2\\leq x\\leq 3+2 \\iff x\\in[1\\,;5]$."}, {"question": "L'ensemble des solutions de l'inéquation $\\dfrac{x-1}{x+2}\\leq 0$ est :", "optA": "$\\mathopen{]}-\\infty\\,;1]$", "optB": "$\\mathopen{]}-2\\,;1]$", "optC": "$[-2\\,;1]$", "optD": "$\\mathopen{]}-\\infty\\,;-2\\mathclose{[}\\cup[1\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "correct": "B", "notion": "N00-02", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. Tableau de signes : $x-1$ s'annule en $1$, $x+2$ en $-2$ (valeur interdite). Le quotient est négatif ou nul pour $-2<x\\leq 1$ : $S=\\mathopen{]}-2\\,;1]$.", "feedback_incorrect": "Tableau de signes : $x-1$ s'annule en $1$, $x+2$ en $-2$ (valeur interdite). Le quotient est négatif ou nul pour $-2<x\\leq 1$ : $S=\\mathopen{]}-2\\,;1]$."}, {"question": "L'ensemble de définition de $f(x)=\\dfrac{\\sqrt{x-1}}{x-3}$ est :", "optA": "$[1\\,;3\\mathclose{[}\\cup\\mathopen{]}3\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optB": "$[1\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optC": "$\\mathbb{R}\\setminus\\{3\\}$", "optD": "$\\mathopen{]}1\\,;3\\mathclose{[}\\cup\\mathopen{]}3\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "correct": "A", "notion": "N00-03", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. Il faut $x-1\\geq 0$ (racine) et $x-3\\neq 0$ (dénominateur). Donc $x\\geq 1$ et $x\\neq 3$.", "feedback_incorrect": "Il faut $x-1\\geq 0$ (racine) et $x-3\\neq 0$ (dénominateur). Donc $x\\geq 1$ et $x\\neq 3$."}, {"question": "La fonction $g$ définie sur $[-2\\,;3]$ par $g(x)=x^2$ est :", "optA": "paire", "optB": "impaire", "optC": "paire et impaire", "optD": "ni paire ni impaire", "correct": "D", "notion": "N00-03", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $[-2\\,;3]$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ : $3$ appartient à l'ensemble mais pas $-3$. La parité n'a donc pas de sens ici : $g$ n'est ni paire ni impaire.", "feedback_incorrect": "$[-2\\,;3]$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ : $3$ appartient à l'ensemble mais pas $-3$. La parité n'a donc pas de sens ici : $g$ n'est ni paire ni impaire."}, {"question": "On pose $f(x)=x-1$ et $g(x)=\\sqrt{x}$. La fonction $g\\circ f$ est :", "optA": "$x\\mapsto\\sqrt{x}-1$, définie sur $[0\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optB": "$x\\mapsto\\sqrt{x-1}$, définie sur $[1\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optC": "$x\\mapsto\\sqrt{x-1}$, définie sur $[0\\,;+\\infty\\mathclose{[}$", "optD": "$x\\mapsto\\sqrt{x-1}$, définie sur $\\mathbb{R}$", "correct": "B", "notion": "N00-04", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $(g\\circ f)(x)=g(f(x))=\\sqrt{x-1}$, qui existe si $x-1\\geq 0$, soit $x\\geq 1$.", "feedback_incorrect": "$(g\\circ f)(x)=g(f(x))=\\sqrt{x-1}$, qui existe si $x-1\\geq 0$, soit $x\\geq 1$."}, {"question": "$f$ est décroissante sur un intervalle $I$ et $g$ est croissante sur $f(I)$. Alors $g\\circ f$ est :", "optA": "croissante sur $I$", "optB": "croissante seulement si $f$ est positive", "optC": "décroissante sur $I$", "optD": "on ne peut rien conclure", "correct": "C", "notion": "N00-04", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. Deux fonctions de même sens donnent une composée croissante ; de sens contraires, une composée décroissante. Ici décroissante puis croissante : $g\\circ f$ est décroissante sur $I$.", "feedback_incorrect": "Deux fonctions de même sens donnent une composée croissante ; de sens contraires, une composée décroissante. Ici décroissante puis croissante : $g\\circ f$ est décroissante sur $I$."}, {"question": "$\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{3x^2-x+1}{1-2x^2}$ est égale à :", "optA": "$-1$", "optB": "$\\dfrac{3}{2}$", "optC": "$0$", "optD": "$-\\dfrac{3}{2}$", "correct": "D", "notion": "N00-05", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. Forme indéterminée $\\infty/\\infty$ : on garde les termes de plus haut degré. $\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{3x^2}{-2x^2}=-\\frac{3}{2}$.", "feedback_incorrect": "Forme indéterminée $\\infty/\\infty$ : on garde les termes de plus haut degré. $\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{3x^2}{-2x^2}=-\\frac{3}{2}$."}, {"question": "$\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\sin(3x)}{x}$ est égale à :", "optA": "$3$", "optB": "$1$", "optC": "$\\dfrac{1}{3}$", "optD": "$0$", "correct": "A", "notion": "N00-05", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $\\dfrac{\\sin(3x)}{x}=3\\times\\dfrac{\\sin(3x)}{3x}$ et $\\displaystyle\\lim_{X\\to 0}\\frac{\\sin X}{X}=1$, donc la limite vaut $3$.", "feedback_incorrect": "$\\dfrac{\\sin(3x)}{x}=3\\times\\dfrac{\\sin(3x)}{3x}$ et $\\displaystyle\\lim_{X\\to 0}\\frac{\\sin X}{X}=1$, donc la limite vaut $3$."}, {"question": "Si $f(x)=(x^2+1)(2x-3)$, alors $f'(x)$ est égale à :", "optA": "$4x$", "optB": "$2x(2x-3)$", "optC": "$6x^2-6x+2$", "optD": "$6x^2-6x-2$", "correct": "C", "notion": "N00-06", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x^2+1$, $v=2x-3$ : $f'(x)=2x(2x-3)+2(x^2+1)=6x^2-6x+2$.", "feedback_incorrect": "$(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x^2+1$, $v=2x-3$ : $f'(x)=2x(2x-3)+2(x^2+1)=6x^2-6x+2$."}, {"question": "Si $f(x)=\\sqrt{x^2+3}$, alors $f'(x)$ est égale à :", "optA": "$\\dfrac{1}{2\\sqrt{x^2+3}}$", "optB": "$\\dfrac{x}{\\sqrt{x^2+3}}$", "optC": "$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2+3}}$", "optD": "$\\dfrac{x}{2\\sqrt{x^2+3}}$", "correct": "B", "notion": "N00-06", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $(\\sqrt{u})'=\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec $u=x^2+3$, $u'=2x$ : $f'(x)=\\dfrac{2x}{2\\sqrt{x^2+3}}=\\dfrac{x}{\\sqrt{x^2+3}}$.", "feedback_incorrect": "$(\\sqrt{u})'=\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec $u=x^2+3$, $u'=2x$ : $f'(x)=\\dfrac{2x}{2\\sqrt{x^2+3}}=\\dfrac{x}{\\sqrt{x^2+3}}$."}, {"question": "Soit $f(x)=x^2-3x$. Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ est :", "optA": "$y=-x-2$", "optB": "$y=2x-3$", "optC": "$y=x-3$", "optD": "$y=-x-1$", "correct": "D", "notion": "N00-07", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $f(1)=-2$, $f'(x)=2x-3$ donc $f'(1)=-1$. $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-(x-1)-2=-x-1$.", "feedback_incorrect": "$f(1)=-2$, $f'(x)=2x-3$ donc $f'(1)=-1$. $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-(x-1)-2=-x-1$."}, {"question": "$f$ est dérivable sur $\\mathbb{R}$ et $f'(x)=x^2-4$. Alors :", "optA": "$f$ est décroissante sur $[-2\\,;2]$", "optB": "$f$ est croissante sur $[-2\\,;2]$", "optC": "$f$ est décroissante sur $\\mathopen{]}-\\infty\\,;0]$", "optD": "$f$ admet un maximum en $x=2$", "correct": "A", "notion": "N00-07", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $f'(x)=(x-2)(x+2)$ est négative entre les racines : $f$ est décroissante sur $[-2\\,;2]$ (et croissante ailleurs).", "feedback_incorrect": "$f'(x)=(x-2)(x+2)$ est négative entre les racines : $f$ est décroissante sur $[-2\\,;2]$ (et croissante ailleurs)."}, {"question": "$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=1$ et de raison $2$. La somme $S=u_0+u_1+\\dots+u_{20}$ vaut :", "optA": "$420$", "optB": "$441$", "optC": "$462$", "optD": "$861$", "correct": "B", "notion": "N00-08", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. De $u_0$ à $u_{20}$ il y a $21$ termes ; $u_{20}=1+20\\times 2=41$. $S=21\\times\\dfrac{1+41}{2}=441$.", "feedback_incorrect": "De $u_0$ à $u_{20}$ il y a $21$ termes ; $u_{20}=1+20\\times 2=41$. $S=21\\times\\dfrac{1+41}{2}=441$."}, {"question": "La suite définie pour tout $n\\in\\mathbb{N}$ par $v_n=5\\times 3^n$ est :", "optA": "géométrique de raison $5$", "optB": "arithmétique de raison $3$", "optC": "géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=15$", "optD": "géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=5$", "correct": "D", "notion": "N00-08", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $v_{n+1}=5\\times 3^{n+1}=3\\,v_n$ : suite géométrique de raison $3$, et $v_0=5\\times 3^0=5$.", "feedback_incorrect": "$v_{n+1}=5\\times 3^{n+1}=3\\,v_n$ : suite géométrique de raison $3$, et $v_0=5\\times 3^0=5$."}, {"question": "On veut démontrer par récurrence que, pour tout $n\\in\\mathbb{N}$, $3^n\\geq n+1$. Après l'initialisation, l'hérédité consiste à :", "optA": "supposer $3^n\\geq n+1$ pour un entier $n$ fixé, et démontrer $3^{n+1}\\geq n+2$", "optB": "supposer $3^n\\geq n+1$ pour tout entier $n$, et démontrer $3^{n+1}\\geq n+2$", "optC": "supposer $3^{n+1}\\geq n+2$ et en déduire $3^n\\geq n+1$", "optD": "vérifier l'inégalité pour $n=1$, puis pour $n=2$", "correct": "A", "notion": "N00-09", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. L'hérédité : pour un $n$ fixé, si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie. Ici $3^{n+1}=3\\times 3^n\\geq 3(n+1)\\geq n+2$.", "feedback_incorrect": "L'hérédité : pour un $n$ fixé, si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie. Ici $3^{n+1}=3\\times 3^n\\geq 3(n+1)\\geq n+2$."}, {"question": "On note $P(n)$ : « $n^2+n$ est impair ». On démontre que, pour tout $n$, $P(n)\\Rightarrow P(n+1)$. Peut-on conclure que $P(n)$ est vraie pour tout $n\\in\\mathbb{N}$ ?", "optA": "Oui, l'hérédité suffit", "optB": "Non, car l'hérédité est fausse", "optC": "Non, car $P(0)$ est fausse", "optD": "Oui, à condition de vérifier aussi $P(1)$", "correct": "C", "notion": "N00-09", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. L'hérédité est juste, mais $P(0)$ est fausse ($0$ est pair). Sans initialisation, on ne peut rien conclure. En fait $n^2+n=n(n+1)$ est toujours pair.", "feedback_incorrect": "L'hérédité est juste, mais $P(0)$ est fausse ($0$ est pair). Sans initialisation, on ne peut rien conclure. En fait $n^2+n=n(n+1)$ est toujours pair."}, {"question": "$\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{3}+\\dfrac{\\pi}{4}\\right)$ est égal à :", "optA": "$\\dfrac{1+\\sqrt{2}}{2}$", "optB": "$\\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{4}$", "optC": "$\\dfrac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}$", "optD": "$\\dfrac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4}$", "correct": "C", "notion": "N00-10", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $\\cos(a+b)=\\cos a\\cos b-\\sin a\\sin b=\\dfrac12\\cdot\\dfrac{\\sqrt2}{2}-\\dfrac{\\sqrt3}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt2}{2}=\\dfrac{\\sqrt2-\\sqrt6}{4}$.", "feedback_incorrect": "$\\cos(a+b)=\\cos a\\cos b-\\sin a\\sin b=\\dfrac12\\cdot\\dfrac{\\sqrt2}{2}-\\dfrac{\\sqrt3}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt2}{2}=\\dfrac{\\sqrt2-\\sqrt6}{4}$."}, {"question": "Les solutions de l'équation $\\cos x=\\dfrac{1}{2}$ dans $[0\\,;2\\pi\\mathclose{[}$ sont :", "optA": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{2\\pi}{3}$", "optB": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ seulement", "optC": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $-\\dfrac{\\pi}{3}$", "optD": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{5\\pi}{3}$", "correct": "D", "notion": "N00-10", "niveau": "diagnostic", "feedback_correct": "Oui. $\\cos x=\\cos\\frac{\\pi}{3}\\iff x=\\frac{\\pi}{3}+2k\\pi$ ou $x=-\\frac{\\pi}{3}+2k\\pi$. Dans $[0\\,;2\\pi\\mathclose{[}$ : $\\frac{\\pi}{3}$ et $-\\frac{\\pi}{3}+2\\pi=\\frac{5\\pi}{3}$.", "feedback_incorrect": "$\\cos x=\\cos\\frac{\\pi}{3}\\iff x=\\frac{\\pi}{3}+2k\\pi$ ou $x=-\\frac{\\pi}{3}+2k\\pi$. Dans $[0\\,;2\\pi\\mathclose{[}$ : $\\frac{\\pi}{3}$ et $-\\frac{\\pi}{3}+2\\pi=\\frac{5\\pi}{3}$."}]