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2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

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📐 Analyse · Chapitre 4 · التحليل

Les primitivesالدوال الأصلية

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

🎬 3 capsules vidéo (14 min) + 14 exercices

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Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي

Déterminer les primitives des fonctions usuelles
Utiliser les formules de dérivation pour déterminer les primitives d'une fonction sur un intervalle

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Capsule 1/3 : Qu'est-ce qu'une primitive ?Sous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube

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Le cours

الدرس

💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق

Un mobile roule en ligne droite. À l'instant $t$ (en secondes), sa vitesse vaut $v(t)=2t+1$ (en m/s), et il part de la position $0$. Où est-il au bout de $3$ s ?
Au chapitre 2, on a vu que la vitesse est la dérivée de la position. On cherche donc une fonction $x$ telle que $x'(t)=2t+1$ : la fonction $x(t)=t^2+t$ convient, car sa dérivée est $2t+1$. Mais $t^2+t+5$ a la même dérivée ! C'est la position de départ $x(0)=0$ qui choisit la bonne : $x(t)=t^2+t$, donc $x(3)=9+3=12$ m.
Dans ce chapitre, on apprend à faire ce « chemin inverse » de la dérivation : chercher une fonction à partir de sa dérivée. Une telle fonction s'appelle une primitive.

🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل

Savoir ce qu'est une primitive et vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre.
Déterminer toutes les primitives d'une fonction, et celle qui vérifie une condition donnée.
Utiliser le tableau des primitives usuelles et les formules de dérivation « à l'envers ».
Reconnaître une forme $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u^2}$, $\dfrac{u'}{\sqrt u}$… et ajuster une constante.

Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.

📘1. Primitive d'une fonction sur un intervalle🎬 capsule 1الدالة الأصلية لدالة على مجال

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Qu'est-ce qu'une primitive ?· 4 min · sous-titres disponibles

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📘 DÉFINITIONS

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x$ de $I$ : $F'(x)=f(x)$.

Pour vérifier qu'une fonction $F$ donnée est une primitive de $f$, il suffit donc de dériver $F$ et de retrouver $f$. C'est une question très fréquente à l'examen national : « Montrer que $H$ est une primitive de $h$ ».

✏️ EXEMPLE

1) Vérifier que $F(x)=x^3-2x+5$ est une primitive de $f(x)=3x^2-2$ sur $\mathbb R$. 2) Montrer que $H(x)=\dfrac{x}{x+1}$ est une primitive de $h(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$ sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$.
Solution. 1) $F$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb R$, et $F'(x)=3x^2-2=f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb R$.
2) $H$ est dérivable sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$ (quotient de polynômes, $x+1\ne0$) et $H'(x)=\dfrac{1\times(x+1)-x\times1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}=h(x)$. Donc $H$ est une primitive de $h$ sur cet intervalle.

✋ À TOI

$F(x)=x^2+3x$ et $G(x)=x^2+3x-7$ sont-elles des primitives de $f(x)=2x+3$ sur $\mathbb R$ ?

Voir la réponse

Réponse. Oui, toutes les deux : $F'(x)=G'(x)=2x+3=f(x)$. Elles diffèrent d'une constante ($-7$).

🏛2. Existence et ensemble des primitivesوجود الدوال الأصلية ومجموعتها

🏛 THÉORÈME

Existence (admis) : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Les polynômes, les fonctions rationnelles, $\sin$, $\cos$ et $\sqrt{\phantom{x}}$ ont donc des primitives sur chaque intervalle où elles sont continues.
Toutes les primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+c$, où $c$ est une constante réelle.

Autrement dit, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : si $F'=G'=f$, alors $(G-F)'=0$ sur l'intervalle $I$, donc $G-F$ est constante.

⚠️ ATTENTION

quand on demande « les primitives » ou « l'ensemble des primitives », il ne faut pas oublier la constante $c$.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=2x+5$ sur $\mathbb R$. Donner une primitive de $f$, puis toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb R$.
Solution. $F(x)=x^2+5x$ est une primitive de $f$, car $F'(x)=2x+5$. Les primitives de $f$ sur $\mathbb R$ sont les fonctions $x\mapsto x^2+5x+c$, avec $c\in\mathbb R$ (par exemple $x^2+5x+3$ ou $x^2+5x-4$).

✋ À TOI

Donner trois primitives différentes de $f(x)=3x^2$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. Par exemple $x^3$, $\;x^3+1$ et $x^3-2$ : toutes les fonctions $x^3+c$ conviennent.

📐3. Primitive vérifiant une conditionالدالة الأصلية التي تحقق شرطا

📐 PROPRIÉTÉS

Soit $f$ une fonction qui admet des primitives sur un intervalle $I$. Pour tout $x_0$ de $I$ et tout réel $y_0$, il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.

Méthode : on écrit toutes les primitives $F(x)=G(x)+c$, on remplace $x$ par $x_0$ dans $F$, puis on résout l'équation $F(x_0)=y_0$ d'inconnue $c$.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x^4-2x^3+4$ sur $\mathbb R$. 1) Déterminer les primitives de $f$ sur $\mathbb R$. 2) Déterminer la primitive $G$ de $f$ telle que $G(1)=4$.
Solution. 1) Les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto\dfrac15x^5-\dfrac12x^4+4x+c$, $c\in\mathbb R$.
2) $G(1)=4\iff\dfrac15-\dfrac12+4+c=4\iff-\dfrac3{10}+c=0\iff c=\dfrac3{10}$.
Donc $G(x)=\dfrac15x^5-\dfrac12x^4+4x+\dfrac3{10}$.

✋ À TOI

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=2x$ sur $\mathbb R$ telle que $F(0)=5$.

Voir la réponse

Réponse. $F(x)=x^2+c$ et $F(0)=c=5$, donc $F(x)=x^2+5$.

📐4. Primitive d'une somme et d'un produit par un réel🎬 capsule 2الدالة الأصلية لمجموع دالتين ولجداء دالة في عدد حقيقي

▶ Regarder la capsule 2/3

Le tableau des primitives usuelles· 5 min · sous-titres disponibles

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📐 PROPRIÉTÉS

Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, et si $\alpha$ et $\beta$ sont des réels, alors :

$F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$ ;
$\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur $I$ ;
plus généralement, $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$ sur $I$.

On cherche donc une primitive terme par terme, par exemple pour un polynôme.

⚠️ ATTENTION

il n'existe pas de règle de ce type pour un produit ou un quotient : une primitive de $fg$ n'est pas $FG$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer les primitives sur $\mathbb R$ de $f(x)=x^3-2x^2+3x-5$.
Solution. Terme par terme : $x^3\to\dfrac{x^4}4$, $\;-2x^2\to-\dfrac{2x^3}3$, $\;3x\to\dfrac{3x^2}2$, $\;-5\to-5x$.
Les primitives de $f$ sur $\mathbb R$ sont les fonctions $F(x)=\dfrac{x^4}4-\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2-5x+c$, $c\in\mathbb R$.

✋ À TOI

Déterminer les primitives de $f(x)=6x^2-4x+1$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. $F(x)=2x^3-2x^2+x+c$, $c\in\mathbb R$.

⭐5. Primitives des fonctions usuellesالدوال الأصلية للدوال الاعتيادية

⭐ À RETENIR

On lit le tableau des dérivées du chapitre 2 « à l'envers ». Chaque ligne donne une primitive sur l'intervalle indiqué ; toutes les primitives s'obtiennent en ajoutant une constante $c$. Le cas $n=0$ ($x^0=1$) est la première ligne ($k=1$).

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur l'intervalle
$k\ (k\in\mathbb R)$	$kx$	$\mathbb R$
$x^n\ (n\in\mathbb N^*)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb R$
$\dfrac1{x^2}$	$-\dfrac1x$	$\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ ou $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$\dfrac1{x^n}\ (n\ge2)$	$-\dfrac1{(n-1)x^{n-1}}$	$\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ ou $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$\dfrac1{\sqrt x}$	$2\sqrt x$	$\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$x^r\ (r\in\mathbb Q,\ r\ne-1)$	$\dfrac{x^{r+1}}{r+1}$	$\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb R$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb R$
$1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$	$\tan x$	$\mathopen{]}-\frac\pi2+k\pi\,;\frac\pi2+k\pi\mathclose{[}$ ($k\in\mathbb Z$)

Avec les racines (chapitre 1) : $\sqrt x=x^{\frac12}$ a pour primitive $\dfrac23x\sqrt x$, et $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23}$ a pour primitive $\dfrac35x\sqrt[3]{x^2}$, sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

⚠️ ATTENTION

la formule de $x^r$ exige $r\ne-1$. La primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ existe (la fonction est continue sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$), mais elle sera étudiée au chapitre 5, avec le logarithme népérien.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ de 1) $f(x)=4x^3+\dfrac1{x^2}-\dfrac1{\sqrt x}$ ; 2) $g(x)=\sqrt x+\dfrac1{x^2}$.
Solution. 1) $4x^3\to x^4$, $\;\dfrac1{x^2}\to-\dfrac1x$, $\;\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$. Donc $F(x)=x^4-\dfrac1x-2\sqrt x$.
2) $\sqrt x=x^{\frac12}\to\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}=\dfrac23x\sqrt x$. Donc $G(x)=\dfrac23x\sqrt x-\dfrac1x$.

✋ À TOI

Donner une primitive de $f(x)=\dfrac1{x^3}$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

Voir la réponse

Réponse. $n=3$ : $F(x)=-\dfrac1{2x^2}$. Vérification : $F'(x)=\dfrac{4x}{4x^4}=\dfrac1{x^3}$.

📐6. Primitives de x ↦ f(ax + b)الدوال الأصلية لدالة من الشكل x ↦ f(ax+b)

📐 PROPRIÉTÉS

Si $F$ est une primitive de $f$ et si $a\ne0$, alors $x\mapsto\dfrac1a\,F(ax+b)$ est une primitive de $x\mapsto f(ax+b)$ (sur un intervalle où $ax+b$ reste dans l'intervalle de $f$). En particulier :

$\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)$ ;
$\sin(ax+b)\to-\dfrac1a\cos(ax+b)$ ;
$(ax+b)^n\to\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$ ($n\in\mathbb N^*$).

⚠️ ATTENTION

ne pas oublier le facteur $\dfrac1a$ : une primitive de $\cos(3x)$ est $\dfrac13\sin(3x)$, et non $\sin(3x)$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de 1) $f(x)=\cos(2x-1)+\sin(3x)$ ; 2) $g(x)=(3x-1)^4$.
Solution. 1) $F(x)=\dfrac12\sin(2x-1)-\dfrac13\cos(3x)$.
2) $a=3$ et $n=4$ : $G(x)=\dfrac{(3x-1)^5}{3\times5}=\dfrac{(3x-1)^5}{15}$. Vérification : $G'(x)=\dfrac{5\times3\,(3x-1)^4}{15}=(3x-1)^4$.

✋ À TOI

Donner une primitive de $f(x)=\sin(2x)$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. $a=2$ : $F(x)=-\dfrac12\cos(2x)$.

⭐7. Primitives et formules de dérivation🎬 capsule 3الدوال الأصلية وصيغ الاشتقاق

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Reconnaître une dérivée : formules à l'envers· 5 min · sous-titres disponibles

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⭐ À RETENIR

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ (« — » : aucune autre condition). Les formules de dérivation du chapitre 2, lues à l'envers, donnent :

Fonction $f$	Une primitive $F$	Condition sur $I$
$u'u^n\ (n\in\mathbb N^*)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	—
$u'u^r\ (r\in\mathbb Q,\ r\ne-1)$	$\dfrac{u^{r+1}}{r+1}$	$u>0$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac1u$	$u\ne0$
$\dfrac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u$	$u>0$
$\dfrac{u'}{\sqrt[n]{u^{n-1}}}\ (n\ge2)$	$n\sqrt[n]u$	$u>0$
$u'v+uv'$	$uv$	—
$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$	$\dfrac uv$	$v\ne0$

Par exemple, $\left(u^{n+1}\right)'=(n+1)\,u'u^n$, donc $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ est une primitive de $u'u^n$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive de 1) $f(x)=\cos x\,(\sin x)^4$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=\dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}$ sur $\mathbb R$ ; 3) $h(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x}}$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.
Solution. 1) $u(x)=\sin x$, $u'(x)=\cos x$ : $f=u'u^4$, donc $F(x)=\dfrac{(\sin x)^5}5$.
2) $u(x)=x^2+1$ : $g=\dfrac{u'}{u^2}$, donc $G(x)=-\dfrac1{x^2+1}$.
3) $u(x)=x^2+3x$, $u'(x)=2x+3$ et $u(x)>0$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ : $h=\dfrac{u'}{\sqrt u}$, donc $H(x)=2\sqrt{x^2+3x}$.

✋ À TOI

Donner une primitive de $f(x)=3x^2\left(x^3-1\right)^2$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. $u(x)=x^3-1$, $u'(x)=3x^2$ : $f=u'u^2$, donc $F(x)=\dfrac{\left(x^3-1\right)^3}3$.

🛠8. Méthode : reconnaître une forme et ajuster une constanteطريقة: التعرف على الشكل وضبط ثابتة

🛠 MÉTHODE

Repérer une fonction $u$ dont la dérivée $u'$ apparaît (à une constante près).
Si $f$ n'est pas exactement de la forme du tableau, faire apparaître $u'$ en multipliant et en divisant par la même constante.
Appliquer la formule.
Vérifier en dérivant le résultat.

⚠️ ATTENTION

une primitive de $x\left(x^2+1\right)^3$ n'est pas $\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}4$ : il manque le facteur $\dfrac12$.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive de 1) $f(x)=x\left(x^2+1\right)^3$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=(2x+1)\sqrt{2x+1}$ sur $\mathopen{]}-\frac12\,;+\infty\mathclose{[}$ ; 3) $h(x)=\dfrac1{(3x+2)^2}$ sur $\mathopen{]}-\frac23\,;+\infty\mathclose{[}$.
Solution. 1) $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$. On écrit $f(x)=\dfrac12\times2x\left(x^2+1\right)^3=\dfrac12\,u'u^3$, donc $F(x)=\dfrac12\times\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}4=\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}8$.
2) $(2x+1)\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{\frac32}$. Avec $u(x)=2x+1>0$ et $u'(x)=2$ : $g(x)=\dfrac12\times2\,(2x+1)^{\frac32}=\dfrac12\,u'u^{\frac32}$, donc $G(x)=\dfrac12\times\dfrac{(2x+1)^{\frac52}}{\frac52}=\dfrac{(2x+1)^2\sqrt{2x+1}}5$.
3) $u(x)=3x+2$, $u'(x)=3$ : $h(x)=\dfrac13\times\dfrac{3}{(3x+2)^2}$, donc $H(x)=-\dfrac1{3(3x+2)}$.

✋ À TOI

Donner une primitive de $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$ : $f(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$, donc $F(x)=\sqrt{x^2+1}$.

🛠9. Méthode : transformer l'expression avant de primitiverطريقة: تحويل التعبير قبل البحث عن دالة أصلية

🛠 MÉTHODE

Quand aucune forme du tableau n'apparaît, on transforme d'abord l'expression :

développer ou simplifier ;
écrire une fonction rationnelle sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{(x-d)^2}$ (l'énoncé guide en général) ;
utiliser $\tan^2x=\left(1+\tan^2x\right)-1$.

✏️ EXEMPLE

1) Soit $f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+7}{(x-2)^2}$ sur $\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}$. Vérifier que $f(x)=x+1+\dfrac3{(x-2)^2}$, puis déterminer les primitives de $f$. 2) Déterminer une primitive de $g(x)=\tan^2x$ sur $\mathopen{]}-\frac\pi2\,;\frac\pi2\mathclose{[}$. 3) Déterminer une primitive de $h(x)=\sqrt x\left(x^2+2\sqrt x\right)$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.
Solution. 1) $(x+1)(x-2)^2+3=(x+1)\left(x^2-4x+4\right)+3=x^3-3x^2+4+3=x^3-3x^2+7$, d'où l'écriture demandée. Avec $\dfrac1{(x-2)^2}\to-\dfrac1{x-2}$ : les primitives de $f$ sont $F(x)=\dfrac{x^2}2+x-\dfrac3{x-2}+c$, $c\in\mathbb R$.
2) $\tan^2x=\left(1+\tan^2x\right)-1$, donc $G(x)=\tan x-x$.
3) On développe : $h(x)=x^{\frac52}+2x$. Donc $H(x)=\dfrac{x^{\frac72}}{\frac72}+x^2=\dfrac27x^3\sqrt x+x^2$.

🛠10. Pour aller plus loin : fonction définie par morceauxدالة معرفة بأجزاء

🛠 MÉTHODE

Pour une fonction définie par morceaux :

vérifier qu'elle est continue au point de raccord (elle admet alors des primitives sur $\mathbb R$) ;
chercher une primitive sur chaque morceau, avec deux constantes ;
choisir les constantes pour que les deux expressions donnent la même valeur au point de raccord (et la condition demandée) ;
justifier que la fonction obtenue est une primitive sur $\mathbb R$ : sur chaque morceau, $F'=f$ ; au point de raccord, $F$ est continue, et ses dérivées à gauche et à droite sont égales à la valeur de $f$ en ce point, justement parce que $f$ y est continue. Donc $F$ est dérivable en ce point et $F'=f$ partout.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=2x+1$ si $x\le1$ et $f(x)=-x+4$ si $x>1$. 1) Montrer que $f$ est continue en $1$. 2) Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb R$ telle que $F(1)=0$.
Solution. 1) $f(1)=3$ ; $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=3$ et $\lim\limits_{x\to1^+}(-x+4)=3$ : $f$ est continue en $1$, donc sur $\mathbb R$.
2) Pour $x\le1$ : $F(x)=x^2+x+a$ ; pour $x>1$ : $F(x)=-\dfrac{x^2}2+4x+b$. $F(1)=0$ donne $1+1+a=0$, soit $a=-2$. Pour que $F$ soit continue en $1$ : $-\dfrac12+4+b=0$, soit $b=-\dfrac72$.
$F(x)=x^2+x-2$ si $x\le1$ et $F(x)=-\dfrac{x^2}2+4x-\dfrac72$ si $x>1$. Justification : pour $x\lt1$, $F'(x)=2x+1=f(x)$ ; pour $x\gt1$, $F'(x)=-x+4=f(x)$. En $1$, $F$ est continue (les deux expressions valent $0$), sa dérivée à gauche vaut $2\times1+1=3$ et sa dérivée à droite $-1+4=3$ : elles sont égales à $f(1)=3$. Donc $F$ est dérivable en $1$ avec $F'(1)=f(1)$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb R$.

🛠Carte : quelle forme reconnaître ?خريطة: أي شكل نتعرف عليه؟

🛠 MÉTHODE

Je vois…	Je pense à…	Une primitive
un polynôme, une somme	terme par terme	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour chaque $x^n$
$\cos(ax+b)$, $\sin(ax+b)$, $(ax+b)^n$	le facteur $\dfrac1a$	$\dfrac1a\sin(ax+b)$…
un produit où l'on reconnaît $u'$ et une puissance de $u$	$u'u^n$ (ajuster la constante)	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
un quotient avec $u^2$ au dénominateur	$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac1u$
un quotient avec $\sqrt u$ au dénominateur	$\dfrac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u$
aucune forme visible	transformer : développer, décomposer, $\tan^2x=\left(1+\tan^2x\right)-1$	puis recommencer

Dans tous les cas : vérifier en dérivant.

⭐À retenirما يجب تذكره

⭐ À RETENIR

$F$ primitive de $f$ sur $I$ : $F'=f$ sur $I$. Pour vérifier, on dérive.
Toutes les primitives : $F(x)+c$, $c\in\mathbb R$. Une condition $F(x_0)=y_0$ fixe $c$.
Somme et produit par un réel : terme par terme ; pas de règle pour un produit ou un quotient.
$\sin x\to-\cos x$ ; $\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)$.
$u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u^2}\to-\dfrac1u$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$ : faire apparaître $u'$ en ajustant une constante.
Toujours préciser l'intervalle ; la primitive de $\dfrac1x$ : chapitre 5 (logarithme népérien).

⬇️ Télécharger le cours en PDF 📄 Résumé du cours (PDF)

💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه

📐

Formules & règles à retenir

القوانين والقواعد الواجب تذكّرها

Définition

$F$ primitive de $f$ sur un intervalle $I$ : $F$ dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Pour vérifier : on dérive $F$

Toutes les primitives

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ : les primitives sont $x\mapsto F(x)+c$, $c\in\mathbb R$. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives

Condition initiale

Une seule primitive vérifie $F(x_0)=y_0$ : on écrit $F(x)=G(x)+c$, puis on résout $F(x_0)=y_0$

Somme, produit par un réel

$\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$ ; aucune règle pour un produit $fg$ ou un quotient

Primitives usuelles

$x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac1{x^2}\to-\dfrac1x$ ; $\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$ ; $x^r\to\dfrac{x^{r+1}}{r+1}$ ($r\ne-1$, sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$) ; $\cos x\to\sin x$ ; $\sin x\to-\cos x$ ; $1+\tan^2x\to\tan x$

Fonctions $f(ax+b)$

$\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)$ ; $\sin(ax+b)\to-\dfrac1a\cos(ax+b)$ ; $(ax+b)^n\to\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$

Formules en $u$

$u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $u'u^r\to\dfrac{u^{r+1}}{r+1}$ ($u\gt0$) ; $\dfrac{u'}{u^2}\to-\dfrac1u$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$ ; $u'v+uv'\to uv$ ; $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\to\dfrac uv$

Méthode : reconnaître et ajuster

Repérer $u$ et $u'$, faire apparaître $u'$ avec une constante : $x\left(x^2+1\right)^3=\dfrac12\times2x\left(x^2+1\right)^3$, donc une primitive est $\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}8$. Puis vérifier en dérivant

Méthode : transformer d'abord

Aucune forme visible : développer, décomposer ($ax+b+\dfrac c{(x-d)^2}$), ou écrire $\tan^2x=\left(1+\tan^2x\right)-1$

⚠️

Attention aux erreurs

انتبه للأخطاء

Oublier la constante quand on demande « les primitives ».Les primitives de $4x^3$ sont les fonctions $x^4+c$, $c\in\mathbb R$ — pas seulement $x^4$.

« Une primitive de $\sin x$ est $\cos x$. ».$(\cos x)'=-\sin x$ : une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$.

« Une primitive de $\cos(3x)$ est $\sin(3x)$. ».$\big(\sin(3x)\big)'=3\cos(3x)$ : il faut le facteur $\dfrac13$, une primitive est $\dfrac13\sin(3x)$.

« Une primitive de $x\left(x^2+1\right)^3$ est $\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}4$. ».$u'=2x$, pas $x$ : on ajuste avec $\dfrac12$, une primitive est $\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}8$.

« Une primitive d'un produit est le produit des primitives. ».Faux : $x\cdot x=x^2$ a pour primitive $\dfrac{x^3}3$, et non $\dfrac{x^2}2\times\dfrac{x^2}2$. Chercher une forme $u'u^n$ ou $u'v+uv'$.

Donner une primitive sans intervalle.$\dfrac1{x^2}\to-\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ ou $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$, jamais « sur $\mathbb R$ » ; $\sqrt u$ exige $u\gt0$.

✅

Quiz de compréhension

رائز الفهم

Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]

[Réponse A]

[Réponse B — correcte]

[Réponse C]

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Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية

🔵 Application تطبيق · 7

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Exercice 1

🔵 Application · Libre

Déterminer les primitives sur $\mathbb R$ de : 1) $f(x)=2x^5-3x^2-1$ ; 2) $g(x)=8x^7-12x^4-14x^3-6x+5$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

On cherche une primitive terme par terme avec $x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

1) $2x^5\to\dfrac{2x^6}6=\dfrac{x^6}3$ ; $\;-3x^2\to-x^3$ ; $\;-1\to-x$. Donc $F(x)=\dfrac{x^6}3-x^3-x+c$.

2) $8x^7\to x^8$ ; $\;-12x^4\to-\dfrac{12}5x^5$ ; $\;-14x^3\to-\dfrac72x^4$ ; $\;-6x\to-3x^2$ ; $\;5\to5x$. Donc $G(x)=x^8-\dfrac{12}5x^5-\dfrac72x^4-3x^2+5x+c$.

Conclusion : $F(x)=\dfrac{x^6}3-x^3-x+c$ et $G(x)=x^8-\dfrac{12}5x^5-\dfrac72x^4-3x^2+5x+c$, avec $c\in\mathbb R$.

Exercice 2

🔵 Application · Libre

Déterminer une primitive sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ de : 1) $f(x)=\dfrac3{x^2}$ ; 2) $g(x)=\dfrac2{\sqrt x}$ ; 3) $h(x)=\sqrt[3]{x^5}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $\dfrac1{x^2}\to-\dfrac1x$, donc $F(x)=-\dfrac3x$.

2) $\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$, donc $G(x)=4\sqrt x$.

3) $\sqrt[3]{x^5}=x^{\frac53}$ (puissance rationnelle, $x\gt0$). Avec $x^r\to\dfrac{x^{r+1}}{r+1}$ : $H(x)=\dfrac{x^{\frac83}}{\frac83}=\dfrac38x^{\frac83}=\dfrac38x^2\sqrt[3]{x^2}$.

Conclusion : $F(x)=-\dfrac3x$, $G(x)=4\sqrt x$, $H(x)=\dfrac38x^2\sqrt[3]{x^2}$ (à une constante près).

Exercice 3

🔵 Application · Libre

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de : 1) $f(x)=\sin(5-3x)$ ; 2) $g(x)=\cos(2x+1)$ ; 3) $h(x)=(11x+1)^5$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $\sin(ax+b)\to-\dfrac1a\cos(ax+b)$ avec $a=-3$ : $F(x)=-\dfrac1{-3}\cos(5-3x)=\dfrac13\cos(5-3x)$.

2) $\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)$ avec $a=2$ : $G(x)=\dfrac12\sin(2x+1)$.

3) $(ax+b)^n\to\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$ avec $a=11$, $n=5$ : $H(x)=\dfrac{(11x+1)^6}{66}$.

Vérification de 1) : $F'(x)=\dfrac13\times\big(-\sin(5-3x)\big)\times(-3)=\sin(5-3x)$.

Conclusion : $F(x)=\dfrac13\cos(5-3x)$, $G(x)=\dfrac12\sin(2x+1)$, $H(x)=\dfrac{(11x+1)^6}{66}$.

Exercice 4

🔵 Application · Libre

Déterminer une primitive de : 1) $f(x)=2x\left(x^2+5\right)^3$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=\dfrac{2x}{\left(x^2-3\right)^3}$ sur $[4\,;+\infty\mathclose{[}$ ; 3) $h(x)=\dfrac1{(x+1)^2}$ sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $u(x)=x^2+5$, $u'(x)=2x$ : $f=u'u^3\to\dfrac{u^4}4$. Donc $F(x)=\dfrac{\left(x^2+5\right)^4}4$.

2) $u(x)=x^2-3$, $u'(x)=2x$ et $u(x)\gt0$ sur $[4\,;+\infty\mathclose{[}$ : $g=u'u^{-3}\to\dfrac{u^{-2}}{-2}$. Donc $G(x)=-\dfrac1{2\left(x^2-3\right)^2}$.

3) $u(x)=x+1$, $u'(x)=1$ : $h=\dfrac{u'}{u^2}\to-\dfrac1u$. Donc $H(x)=-\dfrac1{x+1}$.

Conclusion : $F(x)=\dfrac{\left(x^2+5\right)^4}4$, $G(x)=-\dfrac1{2\left(x^2-3\right)^2}$, $H(x)=-\dfrac1{x+1}$.

Exercice 5

🔵 Application · Libre

1) Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=x^3-6x^2+1$ sur $\mathbb R$ telle que $F(1)=0$. 2) Déterminer la primitive $G$ de $g(x)=(x+1)^3$ sur $\mathbb R$ telle que $G(0)=1$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $F(x)=\dfrac{x^4}4-2x^3+x+c$. $F(1)=\dfrac14-2+1+c=c-\dfrac34$ ; $F(1)=0$ donne $c=\dfrac34$.

2) $G(x)=\dfrac{(x+1)^4}4+c$. $G(0)=\dfrac14+c=1$ donne $c=\dfrac34$.

Conclusion : $F(x)=\dfrac{x^4}4-2x^3+x+\dfrac34$ et $G(x)=\dfrac{(x+1)^4}4+\dfrac34$.

Exercice 6

🔵 Application · Libre

1) Montrer que $H(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ est une primitive de $h(x)=\dfrac3{(x+1)^2}$ sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$. 2) Montrer que $K(x)=x\sin x+\cos x$ est une primitive de $k(x)=x\cos x$ sur $\mathbb R$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

On dérive la fonction proposée et on doit retrouver la fonction donnée.

1) $H$ est dérivable sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$ et $H'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)\times1}{(x+1)^2}=\dfrac3{(x+1)^2}=h(x)$.

2) $K$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $K'(x)=\big(1\times\sin x+x\cos x\big)-\sin x=x\cos x=k(x)$.

Conclusion : $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathopen{]}-1\,;+\infty\mathclose{[}$ et $K$ une primitive de $k$ sur $\mathbb R$.

Exercice 7

🔵 Application · Libre

Déterminer une primitive de : 1) $f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $u(x)=x^2+1\gt0$, $u'(x)=2x$ : $f=\dfrac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u$. Donc $F(x)=2\sqrt{x^2+1}$.

2) $u(x)=x^2-1\gt0$ sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$, $u'(x)=2x$ : $g(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-1}}$, donc $G(x)=\dfrac12\times2\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^2-1}$.

Conclusion : $F(x)=2\sqrt{x^2+1}$ et $G(x)=\sqrt{x^2-1}$.

🎓

Le chapitre à l'examen national

الدرس في الامتحان الوطني

★

Examen national du baccalauréat — 2009, session de rattrapage — Mathématiques, Sciences expérimentales — Exercice 5, question 1 (première partie)

📝 Extrait adapté

Extrait du sujet national 2009 (session de rattrapage) : exercice 5, question 1 (première partie).
Déterminer les fonctions primitives de la fonction $x\mapsto2x\left(x^2-1\right)^{2009}$ sur $\mathbb R$.

✓ Correction

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Notions du chapitre mobilisées : N03-03, N03-08, N03-09

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[{"question": "Laquelle de ces fonctions est une primitive de $f(x)=3x^2+2$ sur $\\mathbb R$ ?", "optA": "$6x$", "optB": "$x^3+2x$", "optC": "$x^3+2$", "optD": "$3x^3+2x$", "correct": "B", "notion": "N03-01", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Oui : $\\left(x^3+2x\\right)'=3x^2+2$.", "feedback_incorrect": "On vérifie en dérivant : $\\left(x^3+2x\\right)'=3x^2+2$. Attention, $6x$ est la <b>dérivée</b> de $f$, pas une primitive."}, {"question": "Les primitives de $f(x)=4x^3$ sur $\\mathbb R$ sont les fonctions :", "optA": "$x\\mapsto x^4$", "optB": "$x\\mapsto12x^2+c$", "optC": "$x\\mapsto x^4+c$, $c\\in\\mathbb R$", "optD": "$x\\mapsto4x^4+c$", "correct": "C", "notion": "N03-03", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Oui : $x^4$ est une primitive, et on obtient toutes les autres en ajoutant une constante.", "feedback_incorrect": "$\\left(x^4\\right)'=4x^3$, et toutes les primitives s'écrivent $x^4+c$. Ne pas oublier la constante."}, {"question": "La primitive $F$ de $f(x)=2x+1$ sur $\\mathbb R$ telle que $F(1)=5$ est :", "optA": "$F(x)=x^2+x+5$", "optB": "$F(x)=x^2+x+2$", "optC": "$F(x)=x^2+x-3$", "optD": "$F(x)=x^2+x+3$", "correct": "D", "notion": "N03-04", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : $F(x)=x^2+x+c$ et $F(1)=2+c=5$, donc $c=3$.", "feedback_incorrect": "On écrit $F(x)=x^2+x+c$ et on remplace $x$ par $1$ <b>dans $F$</b> : $2+c=5$, d'où $c=3$."}, {"question": "Une primitive de $f(x)=\\sin x$ sur $\\mathbb R$ est :", "optA": "$\\cos x$", "optB": "$\\sin x$", "optC": "$-\\cos x$", "optD": "$-\\sin x$", "correct": "C", "notion": "N03-06", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Oui : $(-\\cos x)'=\\sin x$.", "feedback_incorrect": "$(\\cos x)'=-\\sin x$, donc c'est $-\\cos x$ qui a pour dérivée $\\sin x$."}, {"question": "Une primitive de $f(x)=\\cos(3x)$ sur $\\mathbb R$ est :", "optA": "$\\dfrac13\\sin(3x)$", "optB": "$\\sin(3x)$", "optC": "$3\\sin(3x)$", "optD": "$-\\dfrac13\\sin(3x)$", "correct": "A", "notion": "N03-07", "niveau": "facile", "feedback_correct": "Oui : $\\left(\\dfrac13\\sin(3x)\\right)'=\\dfrac13\\times3\\cos(3x)=\\cos(3x)$.", "feedback_incorrect": "$\\big(\\sin(3x)\\big)'=3\\cos(3x)$ : il faut le facteur $\\dfrac1a=\\dfrac13$."}, {"question": "Une primitive de $f(x)=\\dfrac{2x}{\\left(x^2+1\\right)^2}$ sur $\\mathbb R$ est :", "optA": "$\\dfrac1{x^2+1}$", "optB": "$-\\dfrac{2x}{x^2+1}$", "optC": "$-\\dfrac1{\\left(x^2+1\\right)^3}$", "optD": "$-\\dfrac1{x^2+1}$", "correct": "D", "notion": "N03-08", "niveau": "moyen", "feedback_correct": "Oui : avec $u=x^2+1$, $f=\\dfrac{u'}{u^2}$, qui a pour primitive $-\\dfrac1u$.", "feedback_incorrect": "Forme $\\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u=x^2+1$ et $u'=2x$ : une primitive est $-\\dfrac1u=-\\dfrac1{x^2+1}$ (attention au signe)."}, {"question": "Une primitive de $f(x)=x\\left(x^2+1\\right)^3$ sur $\\mathbb R$ est :", "optA": "$\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}4$", "optB": "$\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}8$", "optC": "$\\dfrac{x^2\\left(x^2+1\\right)^4}8$", "optD": "$\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}2$", "correct": "B", "notion": "N03-09", "niveau": "difficile", "feedback_correct": "Oui : $f(x)=\\dfrac12\\times2x\\left(x^2+1\\right)^3$, donc une primitive est $\\dfrac12\\times\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}4=\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}8$.", "feedback_incorrect": "$u=x^2+1$ et $u'=2x$, mais $f$ ne contient que $x$ : on ajuste avec $\\dfrac12$. Résultat : $\\dfrac{\\left(x^2+1\\right)^4}8$."}, {"question": "Une primitive de $f(x)=\\tan^2x$ sur $\\mathopen{]}-\\frac\\pi2\\,;\\frac\\pi2\\mathclose{[}$ est :", "optA": "$\\dfrac{\\tan^3x}3$", "optB": "$\\tan x$", "optC": "$\\tan x-x$", "optD": "$1+\\tan^2x$", "correct": "C", "notion": "N03-10", "niveau": "difficile", "feedback_correct": "Oui : $\\tan^2x=\\left(1+\\tan^2x\\right)-1$, qui a pour primitive $\\tan x-x$.", "feedback_incorrect": "On transforme : $\\tan^2x=\\left(1+\\tan^2x\\right)-1$. Une primitive est donc $\\tan x-x$. ($\\dfrac{\\tan^3x}3$ aurait pour dérivée $\\tan^2x\\left(1+\\tan^2x\\right)$.)"}]