Bienvenue, 👋

2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

🏠 Accueil›Lycée› 2ème BAC Sciences Physiques›Mathématiques› Dérivation et étude de fonctions

📐 Analyse · Chapitre 2 · التحليل

Dérivation et étude de fonctionsالاشتقاق ودراسة الدوال

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

🎬 8 capsules vidéo (28 min) + 20 exercices

▶ Commencer le chapitreVidéo, cours, essentiel, quiz puis exercices

Ta maîtrise du chapitre (meilleur score au quiz) · تقدّمك في هذا الدرس0%

🎯

Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي

Étudier la dérivabilité d'une fonction numérique en un point et sur un intervalle
Déterminer la fonction dérivée d'une fonction numérique (opérations, composée, racine n-ième)
Déterminer la monotonie d'une fonction et son signe à partir du tableau de variations ou de sa représentation graphique
Résoudre graphiquement des équations $f(x)=g(x)$ et des inéquations $f(x)\leq g(x)$
Déterminer la dérivée et la monotonie de la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone, et la représenter graphiquement
Résoudre des problèmes d'application concernant les valeurs minimales et maximales
Utiliser la dérivée première et la dérivée seconde pour l'étude d'une fonction et pour prouver certaines inégalités

🎬

Vidéo du cours

فيديو الدرس

Capsule 1/8 : Dérivabilité et interprétation géométriqueSous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube

Le cours en 8 capsules courtes · regarde-les dans l'ordre

📖

Le cours

الدرس

💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق

Une bille est lâchée sans vitesse. Une chronophotographie (une image par seconde) donne les distances parcourues : $5$ m après $1$ s, $20$ m après $2$ s, $45$ m après $3$ s. On remarque que $5=5\times1^2$, $20=5\times2^2$ et $45=5\times3^2$ : la distance suit la loi $d(t)=5t^2$ (loi de la chute libre, démontrée en physique en 2e BAC).
En tronc commun, on estime la vitesse à $t=2$ s avec les positions voisines : $v_2\approx\dfrac{M_1M_3}{2\tau}=\dfrac{45-5}{2}=20$ m/s.
En mathématiques, entre $t=2$ et $t=2+h$, la vitesse moyenne vaut $\dfrac{d(2+h)-d(2)}{h}=\dfrac{20h+5h^2}{h}=20+5h$. Quand $h$ devient très petit, cette vitesse moyenne se rapproche de $20$ : la vitesse instantanée à $t=2$ s est exactement $20$ m/s. Ce nombre limite s'appelle le nombre dérivé de $d$ en $2$. En physique, on écrit $v=\dfrac{dx}{dt}$ ; en mathématiques, $dy=f'(x)\,dx$.

🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل

Étudier la dérivabilité d'une fonction en un point et interpréter le résultat sur la courbe.
Calculer des dérivées : opérations, composée, réciproque, racine n-ième.
Utiliser $f'$ pour les variations et les extremums, $f''$ pour la concavité.
Étudier les branches infinies et les symétries, puis mener une étude complète de fonction.

Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.

📘1. Dérivabilité en un point🎬 capsule 1قابلية الاشتقاق في نقطة

▶ Regarder la capsule 1/8

Dérivabilité et interprétation géométrique· 6 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📘 DÉFINITIONS

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ s'il existe un réel $\ell$ tel que $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell$.

Le réel $\ell$ est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ ; on le note $f'(x_0)$. Le quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ s'appelle le taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x$.

✏️ EXEMPLE

Étudier la dérivabilité de $f(x)=2x^2$ en $x_0=2$.
Solution. $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{2x^2-8}{x-2}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x-2}=2(x+2)$ pour $x\ne2$.
Donc $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}2(x+2)=8$ : $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=8$.

📘2. Dérivabilité à droite, à gaucheقابلية الاشتقاق على اليمين وعلى اليسار

📘 DÉFINITIONS

$f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\lim\limits_{x\to x_0^{+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell_1$ (réel) ; on note $f'_d(x_0)=\ell_1$. De même à gauche : $f'_g(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^{-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Propriété : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et $f'_d(x_0)=f'_g(x_0)$.

On utilise ces limites pour une fonction définie par morceaux, avec une valeur absolue, ou en une borne de l'ensemble de définition.

✏️ EXEMPLE

Étudier la dérivabilité de $f(x)=|x-2|$ en $x_0=2$.
Solution. Pour $x\gt2$ : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}=1$, donc $f'_d(2)=1$.
Pour $x\lt2$ : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{-(x-2)}{x-2}=-1$, donc $f'_g(2)=-1$.
$f'_d(2)\ne f'_g(2)$ : $f$ n'est pas dérivable en $2$. En $A(2\,;0)$, la courbe a deux demi-tangentes de coefficients directeurs $1$ et $-1$ : c'est un point anguleux.

⭐3. Interprétation géométriqueالتأويل الهندسي

⭐ À RETENIR

Tangente : si $f$ est dérivable en $x_0$, la courbe $(C_f)$ admet au point $A(x_0\,;f(x_0))$ la tangente d'équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Ce que dit la limite du taux de variation :

limite réelle $\ell$ : tangente de coefficient directeur $\ell$ (horizontale si $\ell=0$) ;
limite réelle à droite (ou à gauche) seulement : demi-tangente ;
limite $\pm\infty$ : $f$ n'est pas dérivable, mais la courbe a une tangente (ou une demi-tangente) verticale d'équation $x=x_0$.

Approximation affine : pour $x$ proche de $x_0$, $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

✏️ EXEMPLE

1) Équation de la tangente à la courbe de $g(x)=x^3$ au point d'abscisse $1$. 2) Étudier la dérivabilité à droite de $h(x)=\sqrt{x-2}$ en $2$ et interpréter.
Solution. 1) $\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1\to3$, donc $g'(1)=3$ ; avec $g(1)=1$ : $y=3(x-1)+1$, soit $y=3x-2$.
2) Pour $x\gt2$ : $\dfrac{h(x)-h(2)}{x-2}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-2}=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\to+\infty$. $h$ n'est pas dérivable à droite en $2$ : la courbe admet au point $(2\,;0)$ une demi-tangente verticale.

📐4. Dérivabilité et continuitéالاشتقاق والاتصال

📐 PROPRIÉTÉS

Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$.

La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue en $0$, mais $f'_d(0)=1$ et $f'_g(0)=-1$, donc elle n'est pas dérivable en $0$.

Conséquence pratique : si $f$ n'est pas continue en $x_0$, elle n'y est pas dérivable ; on vérifie donc d'abord la continuité.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x^2+1$ si $x\le1$ et $f(x)=2x$ si $x\gt1$. Étudier la continuité puis la dérivabilité de $f$ en $1$.
Solution. Continuité : $f(1)=2$ et $\lim\limits_{x\to 1^{+}}2x=2$ : $f$ est continue en $1$.
À gauche : $\dfrac{x^2+1-2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\to2$. À droite : $\dfrac{2x-2}{x-1}=2$. Donc $f'_g(1)=f'_d(1)=2$ : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$.

📐5. Fonction dérivée et dérivées usuelles🎬 capsule 2الدالة المشتقة ومشتقات الدوال الاعتيادية

▶ Regarder la capsule 2/8

Dérivées, opérations et composée· 3 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

$f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ ; sur $[a\,;b]$, il faut en plus la dérivabilité à droite en $a$ et à gauche en $b$. La fonction $x\mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée.

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb R$
$x^n$ $(n\in\mathbb N^*)$	$nx^{n-1}$	$\mathbb R$
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$	$]-\infty\,;0[$ ou $]0\,;+\infty[$
$\sqrt x$	$\dfrac1{2\sqrt x}$	$]0\,;+\infty[$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb R$
$\tan x$	$1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$	$\left]-\frac\pi2+k\pi\,;\frac\pi2+k\pi\right[$
$\sin(ax+b)$	$a\cos(ax+b)$	$\mathbb R$
$\cos(ax+b)$	$-a\sin(ax+b)$	$\mathbb R$

Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb R$ ; toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle de son ensemble de définition.

📐6. Opérations sur les fonctions dérivablesالعمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

📐 PROPRIÉTÉS

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $k\in\mathbb R$ :

$(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ;
si $v$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ et $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ;
si $u\gt0$ sur $I$ : $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$.

Avant de dériver, on précise toujours l'intervalle où la fonction est définie et dérivable.

✏️ EXEMPLE

Calculer la dérivée de $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$.
Solution. $u=2x-1$, $u'=2$ ; $v=x^2+1\gt0$, $v'=2x$.
$f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}$.

🏛7. Dérivée d'une fonction composéeمشتقة مركب دالتين

🏛 THÉORÈME

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$, alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'\big(f(x)\big)$.

Cas fréquents : $(\sin u)'=u'\cos u$ ; $(\cos u)'=-u'\sin u$ ; $(\tan u)'=u'(1+\tan^2u)$.

Notation différentielle : si $y=f(x)$, on écrit $\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$, ou $dy=f'(x)\,dx$.

✏️ EXEMPLE

Dériver 1) $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=\cos^3x$ sur $\mathbb R$.
Solution. 1) $u=x^2+3\gt0$, $u'=2x$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.
2) $g=u^3$ avec $u=\cos x$, $u'=-\sin x$ : $g'(x)=3u'u^2=-3\sin x\cos^2x$.

🛠8. Méthode : calculer une limite avec un nombre dérivé🎬 capsule 3طريقة : حساب نهاية باستعمال العدد المشتق

▶ Regarder la capsule 3/8

Limites à l'aide du nombre dérivé· 3 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

🛠 MÉTHODE

Une limite de la forme $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est le nombre dérivé $f'(a)$, si $f$ est dérivable en $a$.

Reconnaître $f$ et $a$, et vérifier le numérateur : $f(x)-f(a)$.
Calculer $f'(x)$ avec les formules.
Conclure : la limite vaut $f'(a)$.

✏️ EXEMPLE

Calculer 1) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}$ ; 2) $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$.
Solution. 1) Avec $f(x)=\sin2x$ : $f(0)=0$, donc $\dfrac{\sin2x}{x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$. $f'(x)=2\cos2x$, d'où la limite $f'(0)=2$.
2) Avec $f(x)=\sqrt{x+2}$ : $f(2)=2$ et $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x+2}}$, d'où la limite $f'(2)=\dfrac14$.

🏛9. Dérivée et monotonie🎬 capsule 4الاشتقاق ورتابة دالة

▶ Regarder la capsule 4/8

Monotonie, extremums et optimisation· 3 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

🏛 THÉORÈME

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

$f'\ge0$ sur $I$ $\iff$ $f$ croissante sur $I$ ; $f'\le0$ sur $I$ $\iff$ $f$ décroissante sur $I$ ; $f'=0$ sur $I$ $\iff$ $f$ constante sur $I$.
Si $f'\gt0$ sur $I$, sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, $f$ est strictement croissante sur $I$ (même chose pour décroissante).

On résume l'étude dans un tableau de variations. Attention : la conclusion vaut sur un intervalle, jamais sur une réunion d'intervalles.

✏️ EXEMPLE

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb R$.
Solution. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
$f'(x)\gt0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et sur $]1\,;+\infty[$ ; $f'(x)\lt0$ sur $]-1\,;1[$.
$f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$, strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, avec $f(-1)=2$ et $f(1)=-2$.

📐10. Extremums et problèmes d'optimisationالمطاريف ومسائل الأمثلية

📐 PROPRIÉTÉS

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$. Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f(x_0)$ est un extremum (maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$, minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$). En $x_0$, la tangente est horizontale.

Attention : $f'(x_0)=0$ ne suffit pas. Pour $x\mapsto x^3$, $f'(0)=0$ mais $f'$ ne change pas de signe : pas d'extremum en $0$.

✏️ EXEMPLE

Parmi les rectangles de périmètre $20$ cm, lequel a la plus grande aire ?
Solution. Si un côté mesure $x$ ($0\lt x\lt10$), l'autre mesure $10-x$ et l'aire vaut $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$.
$A'(x)=10-2x$ s'annule en $x=5$ en passant de $+$ à $-$ : $A$ est maximale pour $x=5$.
Le rectangle d'aire maximale est le carré de côté $5$ cm, d'aire $25$ cm².

🛠11. Signe d'une fonction et résolution graphiqueإشارة دالة والحل المبياني

🛠 MÉTHODE

Signe à partir du tableau de variations : si le minimum de $g$ sur $I$ est strictement positif, alors $g(x)\gt0$ pour tout $x\in I$. Si $g$ est strictement monotone et s'annule en $\alpha$, $g$ change de signe en $\alpha$.

Signe à partir de la courbe : $g(x)\gt0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Résolution graphique : les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ ; celles de $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points où $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$.

✏️ EXEMPLE

Montrer que $g(x)=x^3-3x+3\gt0$ pour tout $x\in[0\,;+\infty[$.
Solution. $g'(x)=3(x-1)(x+1)$ : sur $[0\,;+\infty[$, $g'(x)\le0$ sur $[0\,;1]$ et $g'(x)\ge0$ sur $[1\,;+\infty[$.
$g$ admet donc sur $[0\,;+\infty[$ un minimum en $1$ : $g(1)=1\gt0$.
Ainsi $g(x)\ge g(1)\gt0$ pour tout $x\ge0$.

🏛12. Dérivée de la fonction réciproque🎬 capsule 5مشتقة الدالة العكسية

▶ Regarder la capsule 5/8

Dérivée de la fonction réciproque· 3 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

🏛 THÉORÈME

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ : elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=f(I)$ (chapitre 1).

Si $f$ est dérivable en $x_0\in I$ et $f'(x_0)\ne0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ et $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$.
Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $\left(f^{-1}\right)'(y)=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$.
$f^{-1}$ a la même monotonie que $f$ ; sa courbe est la symétrique de $(C_f)$ par rapport à la droite $y=x$.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x^3+x+1$ sur $\mathbb R$. 1) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur $\mathbb R$. 2) Calculer $f(1)$, puis montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $3$ et calculer $\left(f^{-1}\right)'(3)$. 3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ au point d'abscisse $3$.
Solution. 1) $f'(x)=3x^2+1\gt0$ : $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb R$, avec $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ ; elle admet une réciproque définie sur $f(\mathbb R)=\mathbb R$.
2) $f(1)=3$ et $f'(1)=4\ne0$, donc $f^{-1}$ est dérivable en $3$ et $\left(f^{-1}\right)'(3)=\dfrac1{f'(1)}=\dfrac14$.
3) $f^{-1}(3)=1$ : $y=\dfrac14(x-3)+1$, soit $y=\dfrac14x+\dfrac14$.

📐13. Racine n-ième et puissances rationnelles🎬 capsule 6الجذر من الرتبة n والقوى الجذرية

▶ Regarder la capsule 6/8

Racine n-ième et puissances rationnelles· 2 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Pour $n\ge2$ : la fonction $x\mapsto\sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $\left(\sqrt[n]{x}\right)'=\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{\,n-1}}}$.

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{\,n-1}}}$ (au programme : le calcul de cette dérivée, pas l'étude de ces fonctions pour $n\ge3$).

Pour $r\in\mathbb Q^*$ : $x\mapsto x^r$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $(x^r)'=r\,x^{r-1}$.

✏️ EXEMPLE

Dériver $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$ sur $\mathbb R$.
Solution. $u=x^2+1\gt0$ et $u'=2x$, donc $f'(x)=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$.
Autre écriture : $f(x)=(x^2+1)^{\frac13}$, d'où $f'(x)=\dfrac13\cdot2x\,(x^2+1)^{-\frac23}$ : même résultat.

📐14. Dérivée seconde et concavité🎬 capsule 7المشتقة الثانية وتقعر منحنى

▶ Regarder la capsule 7/8

Dérivée seconde, concavité et inégalités· 3 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Si $f'$ est dérivable sur $I$, sa dérivée est la dérivée seconde $f''$.

Si $f''\ge0$ sur $I$, la courbe $(C_f)$ est convexe sur $I$ (concavité tournée vers les $y$ positifs) : elle est au-dessus de ses tangentes.
Si $f''\le0$ sur $I$, la courbe est concave sur $I$ (concavité tournée vers les $y$ négatifs) : elle est au-dessous de ses tangentes.
Si $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, le point $A(x_0\,;f(x_0))$ est un point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente.

On peut aussi lire la concavité sur la courbe de $f'$ : $f'$ croissante signifie courbe convexe.

✏️ EXEMPLE

Étudier la concavité de la courbe de $f(x)=x^3-3x^2+1$.
Solution. $f'(x)=3x^2-6x$ et $f''(x)=6x-6=6(x-1)$.
$f''(x)\lt0$ sur $]-\infty\,;1[$ : courbe concave ; $f''(x)\gt0$ sur $]1\,;+\infty[$ : courbe convexe.
$f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe : $A(1\,;-1)$ est un point d'inflexion.

🛠15. Méthode : démontrer une inégalitéطريقة : البرهان على متفاوتة

🛠 MÉTHODE

Pour montrer que $f(x)\le g(x)$ sur un intervalle $I$ :

poser $h(x)=g(x)-f(x)$ ;
étudier les variations de $h$ sur $I$ (signe de $h'$) ;
en déduire que le minimum de $h$ sur $I$ est positif ou nul.

Autre outil : une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, une courbe concave au-dessous.

✏️ EXEMPLE

Montrer que $\sqrt{1+x}\le1+\dfrac x2$ pour tout $x\ge0$.
Solution. Soit $h(x)=1+\dfrac x2-\sqrt{1+x}$ sur $[0\,;+\infty[$. $h'(x)=\dfrac12-\dfrac1{2\sqrt{1+x}}=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}\ge0$ car $\sqrt{1+x}\ge1$.
$h$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ et $h(0)=0$, donc $h(x)\ge0$ : $\sqrt{1+x}\le1+\dfrac x2$.
Interprétation : la droite $y=1+\dfrac x2$ est la tangente en $0$ à la courbe concave de $x\mapsto\sqrt{1+x}$.

📐16. Symétries et périodicité🎬 capsule 8عناصر التماثل والدورية

▶ Regarder la capsule 8/8

Branches infinies, symétries et étude complète· 5 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Soit $D$ l'ensemble de définition de $f$.

Axe de symétrie $x=a$ : pour tout $x\in D$, $2a-x\in D$ et $f(2a-x)=f(x)$.
Centre de symétrie $\Omega(a\,;b)$ : pour tout $x\in D$, $2a-x\in D$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.
Cas particuliers : $f$ paire (axe $x=0$), $f$ impaire (centre $O$).
$f$ est périodique de période $T\gt0$ si, pour tout $x\in D$, $x+T\in D$ et $f(x+T)=f(x)$ ; on étudie alors $f$ sur un intervalle de longueur $T$.

Une symétrie ou une période permet de réduire l'intervalle d'étude.

✏️ EXEMPLE

Montrer que la droite $x=2$ est un axe de symétrie de la courbe de $f(x)=x^2-4x$.
Solution. $D=\mathbb R$, donc pour tout $x$, $4-x\in D$.
$f(4-x)=(4-x)^2-4(4-x)=16-8x+x^2-16+4x=x^2-4x=f(x)$.
Donc la droite $x=2$ est un axe de symétrie : il suffit d'étudier $f$ sur $[2\,;+\infty[$.

⭐17. Branches infiniesالفروع اللانهائية

⭐ À RETENIR

Si…	Alors…
$\lim\limits_{x\to a} f(x)=\pm\infty$	la droite $x=a$ est asymptote verticale
$\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)=b$	la droite $y=b$ est asymptote horizontale
$\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)=\pm\infty$ et $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\pm\infty$	branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$
… et $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$	branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$
… et $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\ne0$, puis $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\big(f(x)-ax\big)=b$	la droite $y=ax+b$ est asymptote oblique
… et $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\big(f(x)-ax\big)=\pm\infty$	branche parabolique de direction la droite $y=ax$

Exemples simples (un par cas, avec sa courbe dans la capsule vidéo 8/8) :

Exemple	Calcul	Conclusion
$f(x)=\dfrac{1}{x-2}$	$\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$	asymptote verticale $x=2$
$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$	$\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)=2$	asymptote horizontale $y=2$
$f(x)=x^2$	$\dfrac{f(x)}{x}=x\to\pm\infty$	branche parabolique de direction $(Oy)$
$f(x)=\sqrt{x}$	$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ en $+\infty$	branche parabolique de direction $(Ox)$
$f(x)=x+1+\dfrac1x$	$\dfrac{f(x)}{x}\to1$ et $f(x)-x=1+\dfrac1x\to1$	asymptote oblique $y=x+1$
$f(x)=x+\sqrt{x}$	$\dfrac{f(x)}{x}\to1$ et $f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty$	branche parabolique de direction $y=x$

Position relative de $(C_f)$ et d'une asymptote $(\Delta):y=ax+b$ : étudier le signe de $f(x)-(ax+b)$.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x-1+\dfrac{1}{x-2}$ sur $\mathbb R\setminus\{2\}$. Étudier les branches infinies de $(C_f)$ et sa position par rapport à la droite $(\Delta):y=x-1$.
Solution. $\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$ : la droite $x=2$ est asymptote verticale.
En $\pm\infty$ : $f(x)-(x-1)=\dfrac1{x-2}\to0$ : $(\Delta)$ est asymptote oblique.
Position : $\dfrac1{x-2}\gt0$ pour $x\gt2$ ($(C_f)$ au-dessus de $(\Delta)$) et $\lt0$ pour $x\lt2$ ($(C_f)$ au-dessous).

🛠18. Méthode : plan d'étude d'une fonctionطريقة : خطة دراسة دالة

🛠 MÉTHODE

Ensemble de définition ; parité, symétrie ou période pour réduire l'intervalle d'étude.
Limites aux bornes ; continuité et dérivabilité aux points particuliers (bornes fermées, raccords).
Dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations.
Branches infinies et position par rapport aux asymptotes.
Dérivée seconde et concavité si on le demande.
Points particuliers (intersection avec les axes, tangentes) puis tracé de la courbe.

✏️ EXEMPLE

Étudier $f(x)=x+\dfrac1x$ sur $\mathbb R^*$.
Solution. Symétrie : $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire, on l'étudie sur $]0\,;+\infty[$ (centre de symétrie $O$).
Variations : $f'(x)=1-\dfrac1{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ : $f$ décroît sur $]0\,;1]$, croît sur $[1\,;+\infty[$ ; minimum $f(1)=2$.
Branches infinies : $\lim\limits_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$. $f(x)-x=\dfrac1x\to0$ en $+\infty$ : asymptote oblique $y=x$, et $(C_f)$ est au-dessus car $\dfrac1x\gt0$.
Concavité : $f''(x)=\dfrac2{x^3}\gt0$ sur $]0\,;+\infty[$ : courbe convexe. On complète la courbe par symétrie de centre $O$.

⭐À retenirما يجب تذكره

⭐ À RETENIR

Dérivable $\Rightarrow$ continue, jamais l'inverse.
La limite du taux de variation décide : nombre dérivé, demi-tangente ou tangente verticale.
Composée : ne pas oublier le facteur $u'$.
Réciproque : $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac1{f'(x_0)}$ avec $f(x_0)=y_0$ et $f'(x_0)\ne0$.
Monotonie : signe de $f'$, sur un intervalle. Extremum : $f'$ s'annule et change de signe.
Concavité : signe de $f''$ ; inflexion : $f''$ s'annule et change de signe.
Asymptote oblique : $a=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}x$, puis $b=\lim\limits_{x\to \infty}\big(f(x)-ax\big)$.

⬇️ Télécharger le cours en PDF 📄 Résumé du cours (PDF)

💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه

📐

Formules & règles à retenir

القوانين والقواعد الواجب تذكّرها

▶ Voir la vidéo

5 min · sous-titres disponibles

Sous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube

Tangente en $x_0$

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Dérivées usuelles

$(x^n)'=nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}$ ; $(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$ ; $(\sin x)'=\cos x$ ; $(\cos x)'=-\sin x$ ; $(\tan x)'=1+\tan^2x$

Opérations

$(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ; $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ $(u\gt0)$

Composée

$(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'\big(f(x)\big)$ ; $\big(\sin(ax+b)\big)'=a\cos(ax+b)$

Fonction réciproque

$\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac1{f'(x_0)}$ avec $y_0=f(x_0)$ et $f'(x_0)\ne0$

Racine n-ième

$\left(\sqrt[n]x\right)'=\dfrac1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ et $(x^r)'=rx^{r-1}$ sur $]0\,;+\infty[$

Variations et extremum

$f'\ge0$ sur $I$ : $f$ croissante sur $I$ ; extremum en $x_0$ si $f'$ s'annule en changeant de signe

Concavité

$f''\ge0$ : convexe ; $f''\le0$ : concave ; inflexion si $f''$ s'annule en changeant de signe

Asymptote oblique

$a=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}x$ puis $b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)$ : $y=ax+b$

⚠️

Attention aux erreurs

انتبه للأخطاء

▶ Voir la vidéo

3 min · sous-titres disponibles

Sous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube

« $f$ est continue en $x_0$, donc dérivable en $x_0$. ».Faux : $x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable. Dérivable $\Rightarrow$ continue, pas l'inverse.

« La limite du taux de variation est $+\infty$, donc pas de tangente. ».$f$ n'est pas dérivable, mais la courbe admet une tangente (ou demi-tangente) verticale.

« $(\sin3x)'=\cos3x$. ».Ne pas oublier le facteur $u'$ : $(\sin3x)'=3\cos3x$.

« $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac1{f'(y_0)}$. ».On divise par $f'(x_0)$, où $x_0$ est l'antécédent : $f(x_0)=y_0$.

« $f'(x_0)=0$, donc $f$ admet un extremum en $x_0$. ».Il faut que $f'$ change de signe : $x\mapsto x^3$ n'a pas d'extremum en $0$.

Annoncer une asymptote oblique sans calcul.Montrer que $f(x)-(ax+b)$ tend vers $0$ ; si la limite de $f(x)-ax$ est infinie, c'est une branche parabolique.

✅

Quiz de compréhension

رائز الفهم

Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]

[Réponse A]

[Réponse B — correcte]

[Réponse C]

[Réponse D]

📊 Quiz gratuit · accessible à tous

📈

Score en temps réel & conseils

النتيجة الفورية والنصائح

Ton score s'affiche à la fin du quiz ci-dessus. Avec un compte gratuit, il est enregistré : tu suis ta maîtrise du chapitre et tu reçois des conseils sur les points à revoir.

Déjà inscrit ? Se connecter

📝

Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية

🔵 Application تطبيق · 9

🟡 Médium متوسط · 6 🎁

🟠 Avancé متقدّم · 5 🔒

Exercice 1

🔵 Application · Libre

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-4x$ si $x\le1$ et $f(x)=x^2-3x-1$ si $x\gt1$. 1) Étudier la continuité de $f$ en $1$. 2) Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$. 3) Donner l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $1$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f(1)=1-4=-3$. À droite : $\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x^2-3x-1)=1-3-1=-3=f(1)$. À gauche, $f$ est un polynôme, donc continue. $f$ est continue en $1$.

2) À gauche ($x\lt1$) : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^3-4x+3}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x^2+x-3)}{x-1}=x^2+x-3$, qui tend vers $1+1-3=-1$. Donc $f'_g(1)=-1$.

À droite ($x\gt1$) : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$, qui tend vers $-1$. Donc $f'_d(1)=-1$.

$f'_g(1)=f'_d(1)=-1$ : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=-1$.

3) $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-(x-1)-3$, soit $y=-x-2$.

Conclusion : $f$ est continue et dérivable en $1$, avec $f'(1)=-1$ ; la tangente en $1$ a pour équation $y=-x-2$.

Exercice 2

🔵 Application · Libre

Soit $f(x)=2x^3+9x^2-5$ sur $\mathbb R$. 1) Montrer que $f'(x)=6x(x+3)$, puis dresser le tableau de variations de $f$. 2) Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $1$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb R$ : $f'(x)=6x^2+18x=6x(x+3)$.

Signe de $f'$ : $f'(x)\gt0$ sur $]-\infty\,;-3[$ et sur $]0\,;+\infty[$, $f'(x)\lt0$ sur $]-3\,;0[$.

$f(-3)=-54+81-5=22$ et $f(0)=-5$. Limites : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (terme $2x^3$).

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-3]$, décroissante sur $[-3\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$.

2) $f(1)=2+9-5=6$ et $f'(1)=6\times1\times4=24$. Tangente : $y=24(x-1)+6$, soit $y=24x-18$.

Conclusion : Maximum local $22$ en $-3$, minimum local $-5$ en $0$ ; tangente en $1$ : $y=24x-18$.

Exercice 3

🔵 Application · Libre

Calculer $f'(x)$ dans chacun des cas : 1) $f(x)=x^4-3x^2+5x-1$ sur $\mathbb R$ ; 2) $f(x)=(2x-1)(x^2+3)$ sur $\mathbb R$ ; 3) $f(x)=x\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$ ; 4) $f(x)=(4x-1)\sin x$ sur $\mathbb R$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Somme de fonctions usuelles : $f'(x)=4x^3-6x+5$.

2) Produit $uv$ avec $u=2x-1$, $v=x^2+3$ : $f'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)\times2x=6x^2-2x+6$.

3) Produit avec $u=x$, $v=\sqrt x$ : $f'(x)=\sqrt x+x\times\dfrac1{2\sqrt x}=\sqrt x+\dfrac{\sqrt x}2=\dfrac32\sqrt x$.

4) Produit avec $u=4x-1$, $v=\sin x$ : $f'(x)=4\sin x+(4x-1)\cos x$.

Conclusion : $4x^3-6x+5$ ; $6x^2-2x+6$ ; $\dfrac32\sqrt x$ ; $4\sin x+(4x-1)\cos x$.

Exercice 4

🔵 Application · Libre

1) Calculer la dérivée de $g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ sur $]2\,;+\infty[$. 2) Soit $f(x)=\dfrac{x^3}{2x+1}$ sur $D=\mathbb R\setminus\left\{-\dfrac12\right\}$. Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2(4x+3)}{(2x+1)^2}$. 3) En déduire les variations de $f$ (les limites ne sont pas demandées).

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Quotient : $g'(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$.

2) $f'(x)=\dfrac{3x^2(2x+1)-x^3\times2}{(2x+1)^2}=\dfrac{6x^3+3x^2-2x^3}{(2x+1)^2}=\dfrac{4x^3+3x^2}{(2x+1)^2}=\dfrac{x^2(4x+3)}{(2x+1)^2}$.

3) $x^2\ge0$ et $(2x+1)^2\gt0$ : le signe de $f'$ est celui de $4x+3$ (avec $f'(0)=0$). $4x+3\lt0$ pour $x\lt-\dfrac34$.

$f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac34\right]$, croissante sur $\left[-\dfrac34\,;-\dfrac12\right[$ et croissante sur $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$ ($f'$ ne s'annule qu'en $0$). $f\left(-\dfrac34\right)=\dfrac{-27/64}{-1/2}=\dfrac{27}{32}$.

Conclusion : $g'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$ ; $f$ admet un minimum local $\dfrac{27}{32}$ en $-\dfrac34$.

Exercice 5

🔵 Application · Libre

1) Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb R$. Calculer $f'(x)$. 2) En déduire la dérivée de $g(x)=f(x^2+3)$. 3) Calculer la dérivée de $h(x)=\cos(2x^3-3x^2+1)$ sur $\mathbb R$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $u(x)=x^2+1\gt0$ sur $\mathbb R$ et $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

2) $g=f\circ v$ avec $v(x)=x^2+3$, $v'(x)=2x$ : $g'(x)=v'(x)\times f'\big(v(x)\big)=2x\times\dfrac{x^2+3}{\sqrt{(x^2+3)^2+1}}$.

3) $(\cos u)'=-u'\sin u$ avec $u(x)=2x^3-3x^2+1$, $u'(x)=6x^2-6x$ : $h'(x)=-6x(x-1)\sin(2x^3-3x^2+1)$.

Conclusion : On n'oublie jamais le facteur $u'$ : $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $g'(x)=\dfrac{2x(x^2+3)}{\sqrt{(x^2+3)^2+1}}$, $h'(x)=-6x(x-1)\sin(2x^3-3x^2+1)$.

Exercice 6

🔵 Application · Libre

Soit $f(x)=x^3+3x^2+2$ sur $\mathbb R$. 1) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 2) Étudier les variations de $f$. 3) Préciser les extremums locaux de $f$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Une fonction polynôme a la limite de son terme de plus haut degré : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

2) $f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$. $f'(x)\gt0$ sur $]-\infty\,;-2[$ et $]0\,;+\infty[$, $f'(x)\lt0$ sur $]-2\,;0[$.

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$. $f(-2)=-8+12+2=6$ et $f(0)=2$.

3) $f'$ s'annule en changeant de signe en $-2$ et en $0$ : maximum local $f(-2)=6$, minimum local $f(0)=2$.

Conclusion : Maximum local $6$ en $-2$ ; minimum local $2$ en $0$.

Exercice 7

🔵 Application · Libre

1) Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt[4]{3+\cos^2x}$ sur $\mathbb R$. 2) Soit $g(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}$ sur $[0\,;+\infty[$. a) Calculer $g'(x)$ pour $x\gt0$. b) En déduire que $g$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Rappel : si $u\gt0$, $\left(\sqrt[n]u\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$.

1) $u(x)=3+\cos^2x\ge3\gt0$ et $u'(x)=2\cos x\times(-\sin x)=-\sin2x$. Donc $f'(x)=\dfrac{-\sin2x}{4\sqrt[4]{(3+\cos^2x)^3}}$.

2) a) Pour $x\gt0$, $u(x)=x^2+2x\gt0$ et $u'(x)=2x+2$ : $g'(x)=\dfrac{2x+2}{3\sqrt[3]{(x^2+2x)^2}}$.

b) Pour $x\gt0$, $2x+2\gt0$, donc $g'(x)\gt0$ : $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$. Comme $g$ est continue en $0$, elle est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Conclusion : $f'(x)=\dfrac{-\sin2x}{4\sqrt[4]{(3+\cos^2x)^3}}$ ; $g$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Exercice 8

🔵 Application · Libre

Soit $f(x)=x^3-3x+3$ sur $\mathbb R$. 1) Étudier les variations de $f$. 2) Étudier la concavité de $(C_f)$ et déterminer son point d'inflexion. 3) Montrer que $I(0\,;3)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ : $f$ croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty[$ ; $f(-1)=5$ et $f(1)=1$.

2) $f''(x)=6x$ : $f''\lt0$ sur $]-\infty\,;0[$ (courbe concave), $f''\gt0$ sur $]0\,;+\infty[$ (courbe convexe).

$f''$ s'annule en $0$ en changeant de signe : $I(0\,;f(0))=I(0\,;3)$ est un point d'inflexion.

3) Pour tout $x\in\mathbb R$, $-x\in\mathbb R$ et $f(-x)+f(x)=(-x^3+3x+3)+(x^3-3x+3)=6=2\times3$. Donc $I(0\,;3)$ est un centre de symétrie.

Conclusion : $(C_f)$ est concave sur $]-\infty\,;0]$, convexe sur $[0\,;+\infty[$ ; $I(0\,;3)$ est à la fois point d'inflexion et centre de symétrie.

Exercice 9

🔵 Application · Libre

Soit $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ sur $\mathbb R\setminus\{1\}$. 1) Vérifier que $f(x)=x+1+\dfrac1{x-1}$. 2) Calculer les limites de $f$ en $1$ et interpréter. 3) Montrer que la droite $(\Delta):y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 4) Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à $(\Delta)$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $x+1+\dfrac1{x-1}=\dfrac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{x^2-1+1}{x-1}=\dfrac{x^2}{x-1}$.

2) Le numérateur tend vers $1$. $\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x-1)=0^+$ donc $\lim\limits_{x\to 1^{+}} f(x)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty$. La droite $x=1$ est asymptote verticale.

3) $f(x)-(x+1)=\dfrac1{x-1}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : $(\Delta)$ est asymptote oblique.

4) $\dfrac1{x-1}\gt0$ pour $x\gt1$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ ; $\dfrac1{x-1}\lt0$ pour $x\lt1$ : $(C_f)$ est au-dessous.

Conclusion : Asymptote verticale $x=1$, asymptote oblique $y=x+1$ ; $(C_f)$ au-dessus de $(\Delta)$ sur $]1\,;+\infty[$, au-dessous sur $]-\infty\,;1[$.

Exercice 1

🟡 Médium

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax^2+bx$ si $x\le1$ et $f(x)=x^3+3x^2-5$ si $x\gt1$, où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable en $1$.

✓ Correction