Bienvenue, 👋

2ème BAC Sciences Physiques · Mathématiques

🏠 Accueil›Lycée› 2ème BAC Sciences Physiques›Mathématiques› Les fonctions logarithmes

📐 Analyse · Chapitre 5 · التحليل

Les fonctions logarithmesالدوال اللوغاريتمية

🎓 2ème BAC Sciences Physiques

🎬 6 capsules vidéo (28 min) + 20 exercices

▶ Commencer le chapitreVidéo, cours, essentiel, quiz puis exercices

Ta maîtrise du chapitre (meilleur score au quiz) · تقدّمك في هذا الدرس0%

🎯

Objectifs du programme officiel

أهداف البرنامج الرسمي

Maîtriser le calcul algébrique sur les logarithmes
Maîtriser la résolution des équations, des inéquations et des systèmes logarithmiques
Connaître et appliquer le logarithme décimal
Maîtriser les limites logarithmiques de base et les appliquer
Étudier et représenter des fonctions comportant la fonction logarithme népérien
Utiliser les formules de dérivation pour déterminer les primitives d'une fonction sur un intervalle

🎬

Vidéo du cours

فيديو الدرس

Capsule 1/6 : ln : la primitive qui manquaitSous-titres : bouton CC · Ouvrir sur YouTube

Le cours en 6 capsules courtes · regarde-les dans l'ordre

📖

Le cours

الدرس

💡 SITUATION DÉCLENCHANTE وضعية انطلاق

Au chapitre 4, on a construit le tableau des primitives : pour $n\neq-1$, une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Mais pour $n=-1$, c'est-à-dire pour $f(x)=\dfrac1x$, la formule donnerait une division par $0$ : la case est restée vide.
Pourtant $f(x)=\dfrac1x$ est continue sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, donc elle admet des primitives (résultat admis au chapitre 4). Si $F$ en est une, les autres sont $F+c$, et une seule vaut $0$ en $x=1$. Cette primitive-là est une nouvelle fonction, qui ne s'écrit avec aucune fonction déjà connue : le logarithme népérien, noté $\ln$.
Dans ce chapitre, on apprend à la manipuler. Ses propriétés transforment les produits en sommes, ce qui permet de résoudre des équations et des inéquations jusqu'ici hors de portée, comme : « en combien d'années un capital placé à $5\,\%$ double-t-il ? »

🎯 OBJECTIFS DU CHAPITRE أهداف الفصل

Définir le logarithme népérien comme la primitive de $\dfrac1x$ qui s'annule en $1$, et connaître le nombre $e$.
Utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier, exprimer et comparer.
Résoudre des équations, des inéquations et des systèmes comportant des logarithmes (en vérifiant toujours la validité).
Calculer les limites de référence de $\ln$ et lever des indéterminations.
Étudier et représenter des fonctions comportant $\ln$ ; dériver $\ln(u)$ et déterminer les primitives de $\dfrac{u'}{u}$.
Utiliser le logarithme de base $a$ et le logarithme décimal (équations $10^x=a$, pH).

Le cours est découpé en parties : ouvre celle dont tu as besoin.

📘1. La fonction logarithme népérien🎬 capsule 1الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

▶ Regarder la capsule 1/6

ln : la primitive qui manquait· 5 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📘 DÉFINITIONS

Définition. La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ qui s'annule en $1$.

Elle existe : $x\mapsto\dfrac1x$ est continue sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, donc admet des primitives (chapitre 4), et une seule vaut $0$ en $1$.

Conséquences.

$\ln$ est définie sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ : on ne peut calculer le logarithme ni de $0$, ni d'un nombre négatif.
$\ln 1=0$.
$\ln$ est dérivable (donc continue) sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ et, pour tout $x\gt 0$ : $\ln'(x)=\dfrac1x$.

✏️ EXEMPLE

1) Montrer que $G(x)=\ln x+5$ est une primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$. 2) Déterminer la primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ qui vaut $3$ en $1$.
Solution. 1) $G'(x)=\dfrac1x+0=\dfrac1x$ pour tout $x\gt 0$ : $G$ est bien une primitive.
2) Les primitives sont les fonctions $x\mapsto\ln x+c$, $c\in\mathbb R$. La condition $\ln 1+c=3$ donne $c=3$ : c'est la fonction $x\mapsto\ln x+3$.

✋ À TOI

Que valent $\ln 1$ et $\ln'(2)$ ? Peut-on calculer $\ln(-3)$ ?

Voir la réponse

Réponse. $\ln1=0$ et $\ln'(2)=\dfrac12$. Non : $\ln$ n'est définie que sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

📐2. Sens de variation et signe de lnمنحى تغيرات الدالة اللوغاريتمية وإشارتها

📐 PROPRIÉTÉS

Comme $\ln'(x)=\dfrac1x\gt 0$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, la fonction $\ln$ est strictement croissante. Pour tous réels $a\gt 0$ et $b\gt 0$ :

$\ln a=\ln b\iff a=b$ ;
$\ln a\lt \ln b\iff a\lt b$ (l'ordre est conservé).

Comme $\ln1=0$, on en déduit le signe de $\ln x$ :

$0\lt x\lt 1$	$x=1$	$x\gt 1$
$\ln x\lt 0$	$\ln x=0$	$\ln x\gt 0$

⚠️ ATTENTION

ces équivalences ne sont valables que si $a$ et $b$ sont strictement positifs.

✏️ EXEMPLE

1) Donner le signe de $\ln(0{,}8)$ et de $\ln3$. 2) Comparer $\ln\dfrac53$ et $\ln\dfrac74$ sans calculatrice.
Solution. 1) $0{,}8\lt 1$ donc $\ln(0{,}8)\lt 0$ ; $3\gt 1$ donc $\ln3\gt 0$.
2) $\dfrac53=\dfrac{20}{12}$ et $\dfrac74=\dfrac{21}{12}$, donc $\dfrac53\lt \dfrac74$. Comme $\ln$ est strictement croissante : $\ln\dfrac53\lt \ln\dfrac74$.

✋ À TOI

Comparer $\ln\dfrac13$ et $\ln\dfrac14$.

Voir la réponse

Réponse. $\dfrac14\lt \dfrac13$ et $\ln$ est strictement croissante, donc $\ln\dfrac14\lt \ln\dfrac13$.

📘3. Le nombre eالعدد e

📘 DÉFINITIONS

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, et elle prend toutes les valeurs réelles (ses limites en $0$ et en $+\infty$ sont étudiées dans la partie B). L'équation $\ln x=1$ a donc une seule solution dans $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ : on l'appelle $e$.

Définition. $e$ est l'unique réel tel que $\ln e=1$. On a $e\approx2{,}718$.

À savoir. Pour tout rationnel $r$ : $\ln\left(e^{r}\right)=r$ (la propriété 4 de la section suivante le justifie), et, pour $x\gt 0$ : $\ln x=r\iff x=e^{r}$.

⚠️ ATTENTION

$\ln1=0$ et $\ln e=1$ ; ne pas les confondre. Et $\ln0$ n'existe pas.

✏️ EXEMPLE

1) Résoudre $\ln x=2$ puis $\ln x=-1$. 2) Calculer $\ln\left(e^5\right)$ et $\ln\dfrac1e$.
Solution. 1) $\ln x=2\iff x=e^2$ ; $\ln x=-1\iff x=e^{-1}=\dfrac1e$.
2) $\ln\left(e^5\right)=5$ ; $\ln\dfrac1e=\ln\left(e^{-1}\right)=-1$.

✋ À TOI

Résoudre $\ln x=3$.

Voir la réponse

Réponse. $\ln x=3\iff x=e^{3}\ (\approx20{,}1)$.

📐4. Propriétés algébriques🎬 capsule 2الخاصيات الجبرية

▶ Regarder la capsule 2/6

ln transforme les produits en sommes· 4 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Pour tous réels $a\gt 0$ et $b\gt 0$ et tout rationnel $r$ :

$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ : le logarithme transforme les produits en sommes ;
$\ln\dfrac1b=-\ln b$ ;
$\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b$ ;
$\ln\left(a^{r}\right)=r\ln a$ ; en particulier $\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a$.

Preuve de la propriété 1. Fixons $a\gt 0$ et posons, pour $x\gt 0$, $g(x)=\ln(ax)$ et $h(x)=\ln x+\ln a$. On a $g'(x)=a\times\dfrac1{ax}=\dfrac1x$ et $h'(x)=\dfrac1x$ : $g$ et $h$ sont deux primitives de $\dfrac1x$, donc elles diffèrent d'une constante. Or $g(1)=\ln a$ et $h(1)=\ln1+\ln a=\ln a$ : la constante est nulle, donc $g=h$.

Les autres propriétés s'en déduisent : $\ln b+\ln\dfrac1b=\ln1=0$ donne la 2, puis $\ln\dfrac ab=\ln a+\ln\dfrac1b$ donne la 3, et la 4 s'obtient en répétant la 1.

✏️ EXEMPLE

Exprimer en fonction de $\ln2$ et $\ln3$ : 1) $A=\ln12$ ; 2) $B=\ln\dfrac89$ ; 3) $C=\ln\sqrt{18}$.
Solution. 1) $A=\ln\left(2^2\times3\right)=2\ln2+\ln3$.
2) $B=\ln8-\ln9=\ln\left(2^3\right)-\ln\left(3^2\right)=3\ln2-2\ln3$.
3) $C=\dfrac12\ln18=\dfrac12\ln\left(2\times3^2\right)=\dfrac12\left(\ln2+2\ln3\right)=\dfrac12\ln2+\ln3$.

✋ À TOI

Écrire $\ln20$ en fonction de $\ln2$ et $\ln5$.

Voir la réponse

Réponse. $\ln20=\ln\left(2^2\times5\right)=2\ln2+\ln5$.

🛠5. Simplifier, exprimer, comparerالتبسيط والتعبير والمقارنة

⚠️ ATTENTION

Attention aux signes. $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ exige $a\gt 0$ et $b\gt 0$. Si $a\lt 0$ et $b\lt 0$, le produit $ab$ est positif mais $\ln a$ et $\ln b$ n'existent pas : on écrit $\ln(ab)=\ln|a|+\ln|b|$. De même, pour tout $x\neq0$ : $\ln\left(x^2\right)=2\ln|x|$, alors que $2\ln x$ n'existe que pour $x\gt 0$.

🛠 MÉTHODE

Ne pas confondre $\left(\ln x\right)^2$ (le logarithme, élevé au carré) et $\ln\left(x^2\right)$ (le logarithme du carré) : $(\ln2)^2\approx0{,}48$ alors que $\ln4\approx1{,}39$. Et il n'y a aucune règle pour $\ln(a+b)$.

✏️ EXEMPLE

1) Simplifier $A=\ln\left(3+\sqrt3\right)+\ln\left(3-\sqrt3\right)$. 2) Les fonctions $f:x\mapsto\ln\left(x^2\right)$ et $g:x\mapsto2\ln x$ sont-elles égales ?
Solution. 1) Comme $\sqrt3\lt 3$, les deux nombres sont strictement positifs. $A=\ln\left[\left(3+\sqrt3\right)\left(3-\sqrt3\right)\right]=\ln(9-3)=\ln6$.
2) $f$ est définie sur $\mathbb R^*$ (car $x^2\gt 0$ pour $x\neq0$) alors que $g$ n'est définie que sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ : les ensembles de définition sont différents, donc $f\neq g$. Elles coïncident sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, mais pas sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ où $f(x)=2\ln|x|$.

✋ À TOI

Écrire $\ln\left((-3)^2\right)$ en fonction de $\ln3$. Pourquoi ne peut-on pas écrire $2\ln(-3)$ ?

Voir la réponse

Réponse. $\ln\left((-3)^2\right)=\ln9=2\ln3=2\ln|-3|$. L'écriture $2\ln(-3)$ n'a pas de sens, car $\ln(-3)$ n'existe pas.

🛠6. Équations logarithmiques🎬 capsule 3المعادلات اللوغاريتمية

▶ Regarder la capsule 3/6

Résoudre avec ln : la validité d'abord· 5 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

🛠 MÉTHODE

Méthode.

Déterminer l'ensemble de validité $D$ : les réels pour lesquels chaque expression placée dans un $\ln$ est $\gt 0$.
Se ramener à $\ln u(x)=\ln v(x)$ (en regroupant avec les propriétés algébriques) ou à $\ln u(x)=k$.
Utiliser $\ln u=\ln v\iff u=v$, ou $\ln u=k\iff u=e^{k}$.
Garder seulement les solutions qui appartiennent à $D$.

Changement d'inconnue. Pour $(\ln x)^2-\ln x-2=0$ (avec $x\gt 0$), on pose $X=\ln x$ : $X^2-X-2=0$ donne $X=-1$ ou $X=2$, donc $x=e^{-1}$ ou $x=e^{2}$.

✏️ EXEMPLE

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3$ ; 2) $\ln(2x+1)=2$.
Solution. 1) Validité : $x-1\gt 0$ et $x+1\gt 0$, soit $x\gt 1$ : $D=\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\in D$ :
$\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3\iff\ln\left[(x-1)(x+1)\right]=\ln3\iff x^2-1=3\iff x^2=4$, donc $x=2$ ou $x=-2$. Seul $2$ appartient à $D$ : $S=\{2\}$.
2) Validité : $2x+1\gt 0$, soit $D=\mathopen{]}-\dfrac12\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\in D$ : $\ln(2x+1)=2\iff2x+1=e^{2}\iff x=\dfrac{e^{2}-1}2\approx3{,}19$, qui appartient à $D$ : $S=\left\{\dfrac{e^{2}-1}2\right\}$.

✋ À TOI

Résoudre $\ln(x-2)=\ln(4-x)$.

Voir la réponse

Réponse. Validité : $x\gt 2$ et $x\lt 4$, soit $D=\mathopen{]}2\,;4\mathclose{[}$. Alors $x-2=4-x\iff x=3$, et $3\in D$ : $S=\{3\}$.

🛠7. Inéquations logarithmiquesالمتراجحات اللوغاريتمية

🛠 MÉTHODE

Méthode. On détermine d'abord l'ensemble de validité $D$, puis on utilise la croissance de $\ln$ : $\ln u\lt \ln v\iff u\lt v$ (même sens) et $\ln u\lt k\iff u\lt e^{k}$. On termine en prenant l'intersection avec $D$.

⚠️ ATTENTION

Attention au sens. Si $0\lt q\lt 1$, alors $\ln q\lt 0$ : en divisant par $\ln q$, on change le sens de l'inéquation. Ainsi $q^n\lt \varepsilon\iff n\ln q\lt \ln\varepsilon\iff n\gt \dfrac{\ln\varepsilon}{\ln q}$.

✏️ EXEMPLE

1) Résoudre $\ln(2x-1)\leq\ln x$. 2) Un capital placé à $5\,\%$ par an est multiplié par $1{,}05$ chaque année. Au bout de combien d'années a-t-il doublé ?
Solution. 1) Validité : $2x-1\gt 0$ et $x\gt 0$, soit $D=\mathopen{]}\dfrac12\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\in D$ : $\ln(2x-1)\leq\ln x\iff2x-1\leq x\iff x\leq1$. Donc $S=\mathopen{]}\dfrac12\,;1\mathclose{]}$.
2) Après $n$ années, le capital est multiplié par $1{,}05^n$ : on cherche le plus petit entier $n$ tel que $1{,}05^n\geq2$. Comme $\ln$ est croissante : $1{,}05^n\geq2\iff n\ln1{,}05\geq\ln2\iff n\geq\dfrac{\ln2}{\ln1{,}05}\approx14{,}2$ (on a divisé par $\ln1{,}05\gt 0$, le sens est conservé). Le plus petit entier est $n=15$ : le capital double en $15$ ans.

✋ À TOI

Quel est le plus petit entier $n$ tel que $0{,}5^n\lt 0{,}001$ ?

Voir la réponse

Réponse. $0{,}5^n\lt 0{,}001\iff n\ln0{,}5\lt \ln0{,}001$. Comme $\ln0{,}5\lt 0$, on change le sens : $n\gt \dfrac{\ln0{,}001}{\ln0{,}5}\approx9{,}97$. Le plus petit entier est $n=10$.

🛠8. Systèmes logarithmiquesالنظمات اللوغاريتمية

🛠 MÉTHODE

Méthode. Pour un système en $x$ et $y$ où ne figurent que $\ln x$ et $\ln y$ :

écrire les conditions de validité : $x\gt 0$ et $y\gt 0$ ;
poser $X=\ln x$ et $Y=\ln y$ : on obtient un système linéaire en $X$ et $Y$ ;
le résoudre, puis revenir à $x$ et $y$ ($\ln x=X\iff x=e^{X}$, ou $\ln x=\ln3\iff x=3$).

✏️ EXEMPLE

Résoudre $\begin{cases}\ln x+\ln y=\ln6\\ \ln x-\ln y=\ln\dfrac32\end{cases}$ avec $x\gt 0$ et $y\gt 0$.
Solution. On pose $X=\ln x$ et $Y=\ln y$. En additionnant : $2X=\ln6+\ln\dfrac32=\ln9$, donc $X=\dfrac12\ln9=\ln3$. En soustrayant : $2Y=\ln6-\ln\dfrac32=\ln4$, donc $Y=\ln2$.
Ainsi $\ln x=\ln3$ et $\ln y=\ln2$, d'où $x=3$ et $y=2$. Vérification : $\ln3+\ln2=\ln6$ et $\ln3-\ln2=\ln\dfrac32$. $S=\{(3,2)\}$.

✋ À TOI

Résoudre $\begin{cases}x+y=5\\ \ln x+\ln y=\ln6\end{cases}$ avec $x\gt 0$ et $y\gt 0$.

Voir la réponse

Réponse. $\ln x+\ln y=\ln(xy)=\ln6\iff xy=6$. Avec $x+y=5$, $x$ et $y$ sont les solutions de $t^2-5t+6=0$, soit $2$ et $3$ : $S=\{(2,3),(3,2)\}$.

🛠Carte : quelle méthode avec ln ?خريطة: أي طريقة نختار مع اللوغاريتم؟

🛠 MÉTHODE

Je vois…	Je pense à…	Je conclus avec…
$\ln u=\ln v$, ou $\ln u+\ln v=\ln w$	validité, puis regrouper en un seul $\ln$	$u=v$, puis garder les solutions de $D$
$\ln u=k$	validité $u\gt 0$	$u=e^{k}$
$(\ln x)^2$ et $\ln x$ ensemble	poser $X=\ln x$	résoudre en $X$, puis $x=e^{X}$
$\ln u\lt \ln v$	validité, $\ln$ croissante	$u\lt v$ (même sens), puis $\cap\,D$
$q^n\lt \varepsilon$ ou $q^n\gt A$	prendre $\ln$ et isoler $n$	diviser par $\ln q$ : sens changé si $0\lt q\lt 1$
un système en $\ln x$ et $\ln y$	$X=\ln x$ et $Y=\ln y$	système linéaire, puis $x\gt 0$ et $y\gt 0$

Dans tous les cas : validité d'abord, vérification des solutions à la fin.

📐9. Limites de référence🎬 capsule 4نهايات مرجعية

▶ Regarder la capsule 4/6

Limites de ln à connaître· 5 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Les six limites à connaître :

Où va $x$ ?	Limite
$+\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$
$0^+$	$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$
$+\infty$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0$ $\ (n\in\mathbb N^*)$
$0^+$	$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{n}\ln x=0$ $\ (n\in\mathbb N^*)$
$0$	$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
$1$	$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$

D'où viennent-elles ?

La limite de $\ln x$ en $+\infty$ est admise. On en déduit celle en $0^+$ : $\ln x=-\ln\dfrac1x$, et $\dfrac1x\to+\infty$ quand $x\to0^+$.
Les deux dernières sont des nombres dérivés : $\dfrac{\ln x-\ln1}{x-1}\to\ln'(1)=1$ quand $x\to1$ ; en posant $t=1+x$, on obtient $\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$ quand $x\to0$.
Les deux « croissances comparées » sont à connaître : le logarithme croît moins vite que toute puissance de $x$ en $+\infty$, et $x^{n}$ l'emporte sur $\ln x$ en $0^+$.

⚠️ ATTENTION

Attention. $x\ln x$ en $0^+$ est une forme indéterminée « $0\times(-\infty)$ » : on ne l'écrit pas « $=0$ » sans citer la limite de référence. Et ne pas confondre $\dfrac{\ln x}{x}$ (limite $0$ en $+\infty$) avec $\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ (limite $1$ en $0$) : on regarde toujours où tend $x$.

✏️ EXEMPLE

Calculer 1) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{-4x+1}{\ln x}$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(2x^2-1\right)\ln x$.
Solution. 1) Quand $x\to0^+$, le numérateur $-4x+1$ tend vers $1$ et $\ln x\to-\infty$ : le quotient tend vers $0$.
2) $2x^2-1\to-1$ et $\ln x\to-\infty$ : le produit tend vers $(-1)\times(-\infty)=+\infty$.

✋ À TOI

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln x$.

Voir la réponse

Réponse. Les deux limites valent $0$ : ce sont les limites de référence avec $n=2$.

🛠10. Lever une indéterminationرفع حالات عدم التحديد

🛠 MÉTHODE

Méthode. Face à une forme indéterminée contenant un logarithme :

regarder où tend l'expression placée dans le $\ln$ (notons-la $u(x)$) ;
choisir la limite de référence qui correspond :
Si $u(x)$ tend vers… on utilise…
$+\infty$ $\dfrac{\ln u}{u}\to0$
$0^+$ $u\ln u\to0$
$0$ $\dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1$
$1$ $\dfrac{\ln u}{u-1}\to1$

Si $u(x)$ tend vers…	on utilise…
$+\infty$	$\dfrac{\ln u}{u}\to0$
$0^+$	$u\ln u\to0$
$0$	$\dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1$
$1$	$\dfrac{\ln u}{u-1}\to1$

sinon, factoriser par le terme dominant, ou faire un changement de variable (par exemple $t=\dfrac1x$).

Composition. Si $u(x)\to b\gt 0$, alors $\ln u(x)\to\ln b$ ; si $u(x)\to+\infty$, alors $\ln u(x)\to+\infty$ ; si $u(x)\to0^+$, alors $\ln u(x)\to-\infty$.

✏️ EXEMPLE

Calculer 1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right)$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac1x\right)$.
Solution. 1) C'est une forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x\gt 0$ : $x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$. Comme $\dfrac{\ln x}{x}\to0$, la parenthèse tend vers $1$ et le produit vers $+\infty$.
2) C'est une forme « $+\infty\times0$ ». On pose $t=\dfrac1x$ : quand $x\to+\infty$, $t\to0^+$, et $x\ln\left(1+\dfrac1x\right)=\dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1$.

✋ À TOI

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac3x\right)$.

Voir la réponse

Réponse. Avec $t=\dfrac3x\to0^+$ : $x\ln\left(1+\dfrac3x\right)=3\times\dfrac{\ln(1+t)}{t}\to3\times1=3$.

📐11. Étude de la fonction lnدراسة الدالة اللوغاريتمية

📐 PROPRIÉTÉS

Tableau de variations. $\ln$ est strictement croissante sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ :

$x$	$0^+$	$1$	$e$	$+\infty$
$\ln x$	$-\infty$	$0$	$1$	$+\infty$

La courbe de $\ln$.

L'axe des ordonnées est asymptote verticale : $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.
Branche parabolique de direction l'axe des abscisses : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.
La courbe est concave : $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}\lt 0$.
Tangente au point $A(1\,;0)$ : $y=x-1$. Tangente au point $E(e\,;1)$ : $y=\dfrac xe$.

Conséquence. Une courbe concave est située sous ses tangentes. Donc, pour tout $x\gt 0$ : $\boxed{\ln x\leq x-1}$, avec égalité seulement en $x=1$.

✏️ EXEMPLE

1) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $e$. 2) Montrer que $\ln x\leq x-1$ pour tout $x\gt 0$, puis que $\ln(1{,}1)\leq0{,}1$.
Solution. 1) $\ln'(e)=\dfrac1e$ et $\ln e=1$, donc $y=\dfrac1e(x-e)+1=\dfrac xe$.
2) La tangente en $x=1$ est $y=\ln'(1)(x-1)+\ln1=x-1$. Comme $\ln$ est concave, sa courbe est sous cette tangente : $\ln x\leq x-1$. Avec $x=1{,}1$ : $\ln(1{,}1)\leq0{,}1$.

✋ À TOI

Donner l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $2$.

Voir la réponse

Réponse. $\ln'(2)=\dfrac12$ et $\ln2$ : $y=\dfrac12(x-2)+\ln2=\dfrac x2-1+\ln2$.

📐12. Dérivée de ln(u)🎬 capsule 5مشتقة الدالة ln(u)

▶ Regarder la capsule 5/6

Étudier ln(u) et primitiver u′/u· 5 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Si $u(x)\gt 0$ sur $I$, alors $x\mapsto\ln\left(u(x)\right)$ est dérivable sur $I$ et $\boxed{\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}}$.
Si $u(x)\neq0$ sur $I$, alors $\left(\ln|u|\right)'=\dfrac{u'}{u}$ aussi.

La fonction $\dfrac{u'}{u}$ s'appelle la dérivée logarithmique de $u$.

Pourquoi ? C'est la dérivée d'une composée (chapitre 2) : $\left(\ln\circ u\right)'=u'\times\ln'(u)=u'\times\dfrac1u$. Si $u\lt 0$, on a $|u|=-u$ et $\left(\ln(-u)\right)'=\dfrac{-u'}{-u}=\dfrac{u'}{u}$.

⚠️ ATTENTION

Attention. $\left(\ln u\right)'$ n'est pas $\dfrac1u$ : on n'oublie pas le facteur $u'$.

✏️ EXEMPLE

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f(x)=\ln\left(4-x^2\right)$ puis calculer $f'(x)$. 2) Étudier les variations de $g(x)=\ln\left(x^2+1\right)$.
Solution. 1) $4-x^2\gt 0\iff x\in\mathopen{]}-2\,;2\mathclose{[}$, donc $D_f=\mathopen{]}-2\,;2\mathclose{[}$ et $f'(x)=\dfrac{-2x}{4-x^2}$.
2) $x^2+1\gt 0$ pour tout réel $x$, donc $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ avec $g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$, du signe de $x$ : $g$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{]}$ et croissante sur $\mathopen{[}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

✋ À TOI

Calculer la dérivée de $h(x)=\ln(3x-1)$ sur $\mathopen{]}\dfrac13\,;+\infty\mathclose{[}$.

Voir la réponse

Réponse. $h'(x)=\dfrac{3}{3x-1}$.

📐13. Primitives de u′/uالدوال الأصلية للدالة u′/u

📐 PROPRIÉTÉS

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur un intervalle $I$. Les primitives de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto\ln|u(x)|+c$, $c\in\mathbb R$. Si $u\gt 0$ sur $I$, on peut écrire simplement $\ln u(x)$.

La case vide est remplie. Avec $u(x)=x$ : une primitive de $\dfrac1x$ est $\ln x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, et $\ln|x|=\ln(-x)$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$.

Méthode.

Repérer au numérateur la dérivée du dénominateur. Sinon, faire apparaître un facteur constant : $\dfrac1{ax+b}=\dfrac1a\times\dfrac{a}{ax+b}$, de primitive $\dfrac1a\ln|ax+b|$.
Choisir $\ln|u|$, ou $\ln u$ si $u\gt 0$ sur $I$ (attention : si $u\lt 0$ sur $I$, on écrit $\ln(-u)$).
Vérifier en dérivant.

✏️ EXEMPLE

Déterminer une primitive de a) $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ ; b) $f(x)=\dfrac{3}{2x-6}$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{[}$ ; c) $f(x)=\dfrac1{2x+1}$ sur $\mathopen{]}-\dfrac12\,;+\infty\mathclose{[}$, celle qui s'annule en $0$.
Solution. a) Le numérateur $2x$ est la dérivée de $x^2+1$, qui est $\gt 0$ : $F(x)=\ln\left(x^2+1\right)$.
b) $\dfrac3{2x-6}=\dfrac32\times\dfrac2{2x-6}$. Sur $\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{[}$, $2x-6\lt 0$, donc $|2x-6|=6-2x$ : $F(x)=\dfrac32\ln(6-2x)$. Vérification : $F'(x)=\dfrac32\times\dfrac{-2}{6-2x}=\dfrac{3}{2x-6}$.
c) $\dfrac1{2x+1}=\dfrac12\times\dfrac2{2x+1}$ et $2x+1\gt 0$ : les primitives sont $\dfrac12\ln(2x+1)+c$. La condition $F(0)=0$ donne $c=0$ : $F(x)=\dfrac12\ln(2x+1)$.

✋ À TOI

Déterminer une primitive de $x\mapsto\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$.

Voir la réponse

Réponse. $\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac12\times\dfrac{2x}{x^2+1}$ : $F(x)=\dfrac12\ln\left(x^2+1\right)$.

🛠14. Les fonctions x ↦ ln(u(x))الدوال من الشكل ln(u(x))

🛠 MÉTHODE

Méthode. Pour étudier $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ :

Ensemble de définition : $u(x)\gt 0$ (strictement : $\ln0$ n'existe pas).
Limites aux bornes : on regarde où tend $u(x)$ ($+\infty$ donne $+\infty$ ; $0^+$ donne $-\infty$ ; $b\gt 0$ donne $\ln b$).
Variations : $f'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u\gt 0$, donc $f'$ a le signe de $u'$ : $f$ varie dans le même sens que $u$.
Signe : $\ln u(x)\geq0\iff u(x)\geq1$ et $\ln u(x)\lt 0\iff0\lt u(x)\lt 1$.

✏️ EXEMPLE

Étudier $f(x)=\ln\left(x^2-1\right)$.
Solution. Définition : $x^2-1\gt 0\iff x\lt -1$ ou $x\gt 1$ : $D_f=\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$.
Limites : en $\pm\infty$, $x^2-1\to+\infty$ donc $f\to+\infty$ ; en $1^+$ et en $-1^-$, $x^2-1\to0^+$ donc $f\to-\infty$ (deux asymptotes verticales).
Variations : $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}$ a le signe de $2x$ sur $D_f$ : $f$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}$ et croissante sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$.
Signe : $f(x)\geq0\iff x^2-1\geq1\iff x^2\geq2\iff|x|\geq\sqrt2$.

✋ À TOI

Déterminer l'ensemble de définition de $g(x)=\ln\left(x^2-3x+2\right)$.

Voir la réponse

Réponse. $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\gt 0\iff x\lt 1$ ou $x\gt 2$ : $D_g=\mathopen{]}-\infty\,;1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}$.

🛠15. Une étude complète, type examenدراسة كاملة من نمط الامتحان

🛠 MÉTHODE

Plan d'étude.

Ensemble de définition, limites aux bornes, asymptotes et branches infinies.
Dérivée $f'$. Si son signe n'est pas évident, on étudie une fonction auxiliaire $g$ (c'est elle que l'énoncé demande souvent d'étudier en premier).
Tableau de variations.
Position de la courbe par rapport à une asymptote ou à une droite : signe de $f(x)-(ax+b)$.
Concavité et points d'inflexion avec $f''$ (chapitre 2).
Équation $f(x)=k$ : fonction continue et strictement monotone, donc solution unique (chapitre 1).
Tracé.

✏️ EXEMPLE

Soit $f(x)=x-1+\dfrac{\ln x}{x}$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.
1) Limites. En $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$, donc $\dfrac{\ln x}{x}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote. En $+\infty$ : $f(x)-(x-1)=\dfrac{\ln x}{x}\to0$ : la droite $(D)\ y=x-1$ est asymptote oblique.
2) Position. $f(x)-(x-1)=\dfrac{\ln x}{x}$ a le signe de $\ln x$ : la courbe est au-dessus de $(D)$ pour $x\gt 1$, en dessous pour $x\lt 1$, et la coupe en $x=1$.
3) Dérivée. $f'(x)=1+\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$ avec $g(x)=x^2+1-\ln x$. Alors $g'(x)=2x-\dfrac1x=\dfrac{2x^2-1}{x}$ : $g$ décroît sur $\mathopen{]}0\,;\dfrac1{\sqrt2}\mathclose{]}$ puis croît, et son minimum vaut $g\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)=\dfrac32+\dfrac{\ln2}{2}\gt 0$. Donc $g\gt 0$, donc $f'\gt 0$ : $f$ est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$.
4) Équation $f(x)=0$. $f$ est continue et strictement croissante, et $f(1)=1-1+0=0$ : la seule solution est $x=1$.

✋ À TOI

Pour $f(x)=x-\ln x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.

Voir la réponse

Réponse. $f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}$ : $f$ décroît sur $\mathopen{]}0\,;1\mathclose{]}$ et croît sur $\mathopen{[}1\,;+\infty\mathclose{[}$. Minimum $f(1)=1$ ; limites $+\infty$ en $0^+$ (car $-\ln x\to+\infty$) et en $+\infty$ (par $x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)$). Donc $f(x)\geq1\gt 0$.

📘16. Logarithme de base a🎬 capsule 6اللوغاريتم ذو الأساس a

▶ Regarder la capsule 6/6

Log de base a et décimal : le pH· 4 min · sous-titres disponibles

Ouvrir sur YouTube

📘 DÉFINITIONS

Définition. Soit $a\gt 0$ avec $a\neq1$. Le logarithme de base $a$ est la fonction définie sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ par $\boxed{\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}}$. Pour $a=e$, on retrouve $\ln$.

Propriétés. On a $\log_a a=1$, $\log_a1=0$, $\log_a\left(a^{r}\right)=r$ pour $r$ rationnel, et les mêmes règles que $\ln$ : $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$, $\log_a\dfrac xy=\log_ax-\log_ay$, $\log_a\left(x^{r}\right)=r\log_ax$.

Sens de variation. $\left(\log_a\right)'(x)=\dfrac1{x\ln a}$. Si $a\gt 1$ ($\ln a\gt 0$), $\log_a$ est strictement croissante ; si $0\lt a\lt 1$ ($\ln a\lt 0$), elle est strictement décroissante, et le sens d'une inéquation change.

✏️ EXEMPLE

1) Calculer $\log_28+\log_5\dfrac1{25}$. 2) Résoudre $\log_{1/2}(2x+1)\geq\log_{1/2}(x+4)$.
Solution. 1) $8=2^3$ et $\dfrac1{25}=5^{-2}$ : $\log_28+\log_5\dfrac1{25}=3+(-2)=1$.
2) Validité : $2x+1\gt 0$ et $x+4\gt 0$, soit $D=\mathopen{]}-\dfrac12\,;+\infty\mathclose{[}$. Comme $0\lt \dfrac12\lt 1$, $\log_{1/2}$ est décroissante : on change le sens, $2x+1\leq x+4\iff x\leq3$. Donc $S=\mathopen{]}-\dfrac12\,;3\mathclose{]}$.

✋ À TOI

Calculer $\log_381-\log_2\dfrac18$.

Voir la réponse

Réponse. $81=3^4$ et $\dfrac18=2^{-3}$ : $4-(-3)=7$.

📘17. Logarithme décimal et pHاللوغاريتم العشري و pH

📘 DÉFINITIONS

Définition. Le logarithme décimal est le logarithme de base $10$ : $\log x=\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln10}$. On a $\log10=1$ et $\log\left(10^{r}\right)=r$ pour $r$ rationnel.

Équation $10^x=a$. Pour $a\gt 0$ : $10^x=a\iff x=\log a$, et, comme $10\gt 1$, $10^x\leq a\iff x\leq\log a$.

Application en chimie. Le pH d'une solution est $\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]$ (concentration en mol/L). Quand la concentration est multipliée par $10$, le pH diminue de $1$. À $25\,°\mathrm C$, la solution est acide si $\mathrm{pH}\lt 7$, neutre si $\mathrm{pH}=7$, basique si $\mathrm{pH}\gt 7$.

✏️ EXEMPLE

1) Résoudre $10^x=5$. 2) Dans le sang humain, $[\mathrm{H_3O^+}]$ est comprise entre $10^{-7{,}4}$ et $10^{-7{,}3}$ mol/L. Montrer que le sang est basique.
Solution. 1) $10^x=5\iff x=\log5\approx0{,}699$.
2) Pour $c=[\mathrm{H_3O^+}]$ avec $10^{-7{,}4}\leq c\leq10^{-7{,}3}$, la croissance de $\log$ donne $-7{,}4\leq\log c\leq-7{,}3$, donc $7{,}3\leq\mathrm{pH}\leq7{,}4$. Le pH est supérieur à $7$ : le sang est basique.

✋ À TOI

Une solution a une concentration $[\mathrm{H_3O^+}]=2\times10^{-5}$ mol/L. Calculer son pH (on donne $\log2\approx0{,}301$).

Voir la réponse

Réponse. $\mathrm{pH}=-\log\left(2\times10^{-5}\right)=-\left(\log2-5\right)=5-\log2\approx4{,}70$ : la solution est acide.

🛠Carte : étudier une fonction avec lnخريطة: كيف ندرس دالة تحتوي على ln؟

🛠 MÉTHODE

Je vois…	Je pense à…	Je conclus avec…
$\ln x$ ou $\dfrac{\ln x}{x^n}$, $x^n\ln x$	où va $x$ ?	limite de référence (citée)
$x\ln\left(1+\dfrac ax\right)$ en $+\infty$	$t=\dfrac ax\to0$	$\dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1$
$x-\ln x$ en $+\infty$ (indétermination)	factoriser par $x$	$\dfrac{\ln x}{x}\to0$
$\ln\left(u(x)\right)$ à étudier	$u(x)\gt 0$ d'abord	$f'=\dfrac{u'}{u}$, signe de $u'$
signe de $\ln u(x)$	comparer $u(x)$ à $1$	$\ln u\geq0\iff u\geq1$
une fraction $\dfrac{u'}{u}$ à primitiver	le numérateur est-il $u'$ ?	$\ln\|u\|$ (facteur constant si besoin), puis vérifier
$\log_a$ avec $a\lt 1$	$\ln a\lt 0$	fonction décroissante : le sens change
$10^x=a$, pH	$\log$ de chaque côté	$x=\log a$

Dans tous les cas : domaine d'abord, vérification à la fin.

⬇️ Télécharger le cours en PDF 📄 Résumé du cours (PDF)

💡

L'essentiel à maîtriser

الأساسي الواجب إتقانه

📐

Formules & règles à retenir

القوانين والقواعد الواجب تذكّرها

▶ Voir la vidéo

6 min · sous-titres disponibles

Sous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube

Définition

$\ln$ est la primitive de $x\mapsto\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ qui s'annule en $1$. Donc $\ln1=0$ et $\ln'(x)=\dfrac1x$. Le nombre $e\approx2{,}718$ vérifie $\ln e=1$

Sens de variation et signe

$\ln$ est strictement croissante : pour $a\gt 0$, $b\gt 0$, $\ln a=\ln b\iff a=b$ et $\ln a\lt \ln b\iff a\lt b$. $\ln x\lt 0$ sur $\mathopen{]}0\,;1\mathclose{[}$, $\ln x\gt 0$ sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$

Propriétés algébriques

Pour $a\gt 0$, $b\gt 0$, $r$ rationnel : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\dfrac1b=-\ln b$ ; $\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b$ ; $\ln\left(a^{r}\right)=r\ln a$ ; $\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a$

Le nombre e

Pour $x\gt 0$ et $r$ rationnel : $\ln x=r\iff x=e^{r}$ et $\ln\left(e^{r}\right)=r$

Limites de référence

$\displaystyle\lim_{+\infty}\ln x=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{0^+}\ln x=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0$ ; $\displaystyle\lim_{0^+}x^{n}\ln x=0$ ($n\in\mathbb N^*$) ; $\displaystyle\lim_{0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ ; $\displaystyle\lim_{1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$

Courbe de ln

Asymptote verticale $x=0$ ; branche parabolique de direction $(Ox)$ ; concave ; tangente en $1$ : $y=x-1$, d'où $\ln x\leq x-1$ pour tout $x\gt 0$

Dérivée de ln(u)

Si $u\gt 0$ sur $I$ : $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$. Si $u$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\ln|u|\right)'=\dfrac{u'}{u}$

Primitives de u′/u

Si $u$ ne s'annule pas sur $I$ : les primitives de $\dfrac{u'}{u}$ sont $\ln|u|+c$. Cas utiles : $\dfrac1x\to\ln|x|$ ; $\dfrac1{ax+b}\to\dfrac1a\ln|ax+b|$

Méthode : équation ou inéquation avec ln

Validité d'abord (tout ce qui est dans un $\ln$ est $\gt 0$), puis $\ln u=\ln v\iff u=v$, $\ln u=k\iff u=e^{k}$, $\ln u\lt \ln v\iff u\lt v$ ; garder les solutions de $D$. Pour $q^n\lt \varepsilon$ : diviser par $\ln q$, sens changé si $0\lt q\lt 1$

Méthode : étudier ln(u(x))

Définie si $u(x)\gt 0$ ; varie dans le même sens que $u$ ; $\ln u(x)\geq0\iff u(x)\geq1$ ; limites : regarder où tend $u(x)$

Logarithme de base a et décimal

$\log_ax=\dfrac{\ln x}{\ln a}$ ($a\gt 0$, $a$ différent de $1$) : mêmes règles que $\ln$, croissante si $a\gt 1$, décroissante si $0\lt a\lt 1$. $\log=\log_{10}$ : $10^x=a\iff x=\log a$ ; $\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]$

⚠️

Attention aux erreurs

انتبه للأخطاء

▶ Voir la vidéo

3 min · sous-titres disponibles

Sous-titres disponibles (bouton CC). Ouvrir sur YouTube

« $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. ».Il n'y a aucune règle pour une somme. La règle est $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ : le logarithme transforme les produits en sommes.

Résoudre $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3$ sans chercher l'ensemble de validité, et garder $x=-2$.Validité : $x\gt 1$. L'équation donne $x^2=4$, mais seul $x=2$ convient : $S=\{2\}$.

$0{,}5^n\lt 0{,}001\iff n\lt \dfrac{\ln0{,}001}{\ln0{,}5}$.$\ln0{,}5\lt 0$ : en divisant, on change le sens. $n\gt \dfrac{\ln0{,}001}{\ln0{,}5}\approx9{,}97$, donc $n\geq10$.

« $\left(\ln\left(x^2+1\right)\right)'=\dfrac1{x^2+1}$. ».$\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ : $\left(\ln\left(x^2+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

« Une primitive de $\dfrac1x$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;0\mathclose{[}$ est $\ln x$. ».$\ln x$ n'existe pas pour $x\lt 0$. Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$ : ici $\ln|x|=\ln(-x)$.

✅

Quiz de compréhension

رائز الفهم

Question 1 / 10 — [Énoncé de la question, propre au chapitre]

[Réponse A]

[Réponse B — correcte]

[Réponse C]

[Réponse D]

📊 Quiz gratuit · accessible à tous

📈

Score en temps réel & conseils

النتيجة الفورية والنصائح

Ton score s'affiche à la fin du quiz ci-dessus. Avec un compte gratuit, il est enregistré : tu suis ta maîtrise du chapitre et tu reçois des conseils sur les points à revoir.

Déjà inscrit ? Se connecter

📝

Exercices d'entraînement

تمارين تطبيقية

🔵 Application تطبيق · 8

🟡 Médium متوسط · 7 🎁

🟠 Avancé متقدّم · 5 🔒

Exercice 1

🔵 Application · Libre

Écrire en fonction de $\ln2$, $\ln3$ et $\ln5$ : 1) $A=\ln27-\ln25$ ; 2) $B=\ln\dfrac{48}{25}-\ln\sqrt8+2\ln5$.
3) Simplifier $C=\ln\left(\left(\sqrt5-2\right)^{2018}\right)+\ln\left(\left(\sqrt5+2\right)^{2018}\right)$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : on décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis on utilise $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln\left(a^{r}\right)=r\ln a$.

1) $27=3^3$ et $25=5^2$ : $A=3\ln3-2\ln5$.

2) $48=2^4\times3$ et $\sqrt8=2^{3/2}$ : $B=4\ln2+\ln3-2\ln5-\dfrac32\ln2+2\ln5=\dfrac52\ln2+\ln3$.

3) $\sqrt5\gt 2$, donc $\sqrt5-2\gt 0$ et les deux logarithmes existent. $C=2018\ln\left[\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)\right]=2018\ln(5-4)=2018\ln1=0$.

Conclusion : $A=3\ln3-2\ln5$, $B=\dfrac52\ln2+\ln3$ et $C=0$.

Exercice 2

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $\ln(2+5x)=\ln(x+6)$ ; 2) $\ln(x-1)+\ln(x-3)=\ln3$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : validité d'abord, puis $\ln u=\ln v\iff u=v$, et on ne garde que les solutions de l'ensemble de validité.

1) Validité : $2+5x\gt 0$ et $x+6\gt 0$, soit $D=\mathopen{]}-\dfrac25\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\in D$ : $2+5x=x+6\iff4x=4\iff x=1$, et $1\in D$.

2) Validité : $x-1\gt 0$ et $x-3\gt 0$, soit $D=\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\in D$ : $\ln\left[(x-1)(x-3)\right]=\ln3\iff x^2-4x+3=3\iff x(x-4)=0$, donc $x=0$ ou $x=4$. Seul $4$ appartient à $D$.

Conclusion : 1) $S=\{1\}$ ; 2) $S=\{4\}$.

Exercice 3

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\leq0$ ; 2) $\ln(2x-5)\geq1$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Validité : $\dfrac{x+1}{x-1}\gt 0$. Un tableau de signes donne $D=\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$.

Pour $x\in D$ : $\ln u\leq0\iff u\leq1$, donc $\dfrac{x+1}{x-1}-1\leq0\iff\dfrac{2}{x-1}\leq0\iff x\lt 1$. Avec $D$, il reste $x\lt -1$.

2) Validité : $2x-5\gt 0$, soit $x\gt \dfrac52$. Alors $\ln(2x-5)\geq1=\ln e\iff2x-5\geq e\iff x\geq\dfrac{e+5}2\ (\approx3{,}86)$, qui est bien $\gt \dfrac52$.

Conclusion : 1) $S=\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}$ ; 2) $S=\mathopen{[}\dfrac{e+5}2\,;+\infty\mathclose{[}$.

Exercice 4

🔵 Application · Libre

Calculer : 1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+\ln x)$ ; 2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1-x)\ln x$ ; 3) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(x-\ln x)$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

Idée : ici aucune forme indéterminée ; on utilise $\displaystyle\lim_{+\infty}\ln x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{0^+}\ln x=-\infty$.

1) $x\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$ : la somme tend vers $+\infty$.

2) $1-x\to-\infty$ et $\ln x\to+\infty$ : le produit tend vers $-\infty$.

3) $x\to0$ et $-\ln x\to+\infty$ : la somme tend vers $+\infty$.

Conclusion : Les limites valent $+\infty$, $-\infty$ et $+\infty$.

Exercice 5

🔵 Application · Libre

Calculer la dérivée de : 1) $f(x)=\ln\left(x^2+x+1\right)$ sur $\mathbb R$ ; 2) $g(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$ sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$ ; 3) $h(x)=(\ln x)^2$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Le discriminant de $x^2+x+1$ vaut $1-4\lt 0$, donc $x^2+x+1\gt 0$ sur $\mathbb R$. Avec $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$.

2) Sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$, $u(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\gt 0$ et $u'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$. Donc $g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\times\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{-2}{x^2-1}$.

3) $\left(u^2\right)'=2uu'$ avec $u=\ln x$ : $h'(x)=2\ln x\times\dfrac1x=\dfrac{2\ln x}{x}$.

Conclusion : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$, $g'(x)=\dfrac{-2}{x^2-1}$ et $h'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$.

Exercice 6

🔵 Application · Libre

Déterminer l'ensemble de définition de : 1) $f(x)=\ln|x-1|$ ; 2) $g(x)=\ln\left(\dfrac{4-x^2}{x}\right)$ ; 3) $h(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln x-1}$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Il faut $|x-1|\gt 0$, c'est-à-dire $x\neq1$.

2) Il faut $\dfrac{(2-x)(2+x)}{x}\gt 0$ (avec $x\neq0$). Le tableau de signes des facteurs $2-x$, $2+x$ et $x$ donne : quotient positif sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}0\,;2\mathclose{[}$.

3) Il faut $x+1\gt 0$, $x\gt 0$ (pour $\ln x$) et $\ln x-1\neq0$, c'est-à-dire $x\neq e$.

Conclusion : $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ ; $D_g=\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}\cup\mathopen{]}0\,;2\mathclose{[}$ ; $D_h=\mathopen{]}0\,;e\mathclose{[}\cup\mathopen{]}e\,;+\infty\mathclose{[}$.

Exercice 7

🔵 Application · Libre

Résoudre dans $\mathbb R$ : 1) $10^x=50$ ; 2) $10^{2x-1}=1000$ ; 3) $\log x+1=\log(x+3)$.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) $10^x=a\iff x=\log a$ : $x=\log50=\log(5\times10)=1+\log5\approx1{,}699$.

2) $1000=10^3$, donc $2x-1=3$, soit $x=2$.

3) Validité : $x\gt 0$ (et alors $x+3\gt 0$). Comme $1=\log10$ : $\log(10x)=\log(x+3)\iff10x=x+3\iff x=\dfrac13$, qui est bien $\gt 0$.

Conclusion : 1) $x=\log50\approx1{,}699$ ; 2) $x=2$ ; 3) $S=\left\{\dfrac13\right\}$.

Exercice 8

🔵 Application · Libre

1) Simplifier $\ln\left(e^2\right)$, $\ln\dfrac1{e^2}$, $\ln\sqrt e$ et $\ln\left(e\sqrt e\right)$.
2) Comparer $3\ln2$ et $2\ln3$ sans calculatrice.

✓ Correction écrite

✓ Correction détaillée

1) Avec $\ln\left(e^{r}\right)=r$ : $\ln\left(e^2\right)=2$ ; $\ln\dfrac1{e^2}=\ln\left(e^{-2}\right)=-2$ ; $\ln\sqrt e=\ln\left(e^{1/2}\right)=\dfrac12$ ; $\ln\left(e\sqrt e\right)=1+\dfrac12=\dfrac32$.

2) $3\ln2=\ln8$ et $2\ln3=\ln9$. Comme $8\lt 9$ et que $\ln$ est strictement croissante : $\ln8\lt \ln9$.

Conclusion : $2$, $-2$, $\dfrac12$, $\dfrac32$ ; et $3\ln2\lt 2\ln3$.

Exercice 1

🟡 Médium

Résoudre dans $\mathbb R^2$ le système $\begin{cases}x^2+y^2=10\\ \ln x+\ln y=\ln3\end{cases}$

✓ Correction